東工大数学'07年前期[1]
pを素数、nを0以上の整数とする。
(1) mは整数で
とする。1から
までの整数の中で、
で割り切れ
で割り切れないものの個数を求めよ。 (2) 1から
までの2つの整数x，yに対し、その積xyが
で割り切れるような組
の個数を求めよ。
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解答 
とか
の場合を少し調べてみれば、感じをつかめると思います。(2)は(1)を利用するのだろうと、最初から思うことが早道です。
(1) 1から
までの整数の中で、
で割り切れる整数は、 の、
個あります。1から
までの整数の中で、
で割り切れる整数(すべて
でも割り切れます)は、 の、
個あります。1から
までの整数の中で、
で割り切れ
で割り切れないものの個数は、 
個 ......[答]
・
として、xが
で割り切れるが
では割り切れない数のとき、こうしたxの個数は、(1)より、
個あります。 このとき、
(
)であれば、xyは
で割り切れます。yの個数は、
個あり、
の組の個数は、
個あります。 ・
のとき、yは、1から
までのどれでもよく、
の組の個数は、
個あります。 以上より、xyが
で割り切れるような組
の個数は、 
個 ......[答]
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では割り切れるが、
では割り切れない、ということです。xを素因数分解したときのpの個数は、0個から
個まであり得ますが、
のときだけ、別に分けて調べる必要があります。