信州大医数学'11年[2]
原点を中心とする半径1の円Sと点A
を考える。ただし、
,
とする。点Aと点B
を結ぶ直線と円Sとの交点をD,点AとC
を結ぶ直線と円Sとの交点をEとする。点Dおよび点Eからx軸に下ろした垂線の足をそれぞれFおよびGとする。直線DGと直線EFの交点をMとするとき直線AMはx軸に直交することを示せ。
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解答 図形と方程式、平面ベクトル、2通りの解法で考えてみます。どちらにしても計算はかなり面倒です。

解法1
点Dのx座標をb (
)とすると、y座標は
です。
直線BDの方程式は、2点B
,D
を通ることから(直線の方程式を参照)、
・・・@点Eのx座標をc (
)とすると、y座標は
です。
直線CEの方程式は、2点C
,E
を通ることから、
・・・A直線DGの方程式は、2点D,G
を通る直線として、
・・・B直線EFの方程式は、2点E,F
を通る直線として、
・・・C@,Aを連立し、交点Aのx座標は、
∴
・・・D
B,Cを連立し、交点Mのx座標は、 ∴
・・・E
Dについて、右辺を有理化すると、 Eについて、右辺を有理化すると、
よって、点Aと点Mのx座標は一致し、直線AMはx軸に垂直です。
解法2
AからBCに下ろした垂線の足をHとします。
とします。また、
,
より、
,
とします。
,
に注意します。
△ABH ∽ △CBDより、BH:AB = BD:BC∴
△ACH ∽ △BCEより、CH:AC = CE:BC∴
よって、BH:CH =
:
△ACD ∽ △BAEより、AD:AC = AE:AB
pb:c =qc:b
∴ 
・・・F△BDF ∽ △BAHより、DF:AH = BD:AB
u:1 =
:1 ∴
△CEG ∽ △CAHより、EG:AH = CE:CA v:1 =
:1 ∴
∴ 
DM:MG = DF:EG = u:vと、
より、 よって、
です。
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