東北大理系数学'11年前期[1]
実数aに対し、不等式
の表す座標平面上の領域を
とおく。
(1) 
を満たすすべてのaに対し
の点となるような点
の範囲を図示せよ。 (2) 
を満たすいずれかのaに対し
の点となるような点
の範囲を図示せよ。
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解答 問題文中の「すべての」、「いずれかの」という言葉をどう扱うかが問題です。
･･･①
は、直線
から下側の領域です。ここでは、x，yを固定し、①を変形して、
として、
におけるaの2次関数
を考えます。
① ⇔ 
です。
を満たすすべてのaに対し
の点となる、ということは、
においてつねに
，つまり、
の最大値が0以下になるということです。
を満たすいずれかのaに対し
の点となる、ということは、
において
となるaが少なくとも1つある、つまり、
の最小値が0以下になるということです。
従って、
の
における最大値と最小値を考えればよいわけです。
をとります。また、
は
のときに最小値：
をとります。
をとります。軸位置：
が範囲の中間点
から左側にあるとき、つまり、
のとき、
は範囲の右端
において、最大値：
をとります。 軸位置：
が範囲の中間点
から右側にあるとき、つまり、
のとき、
は範囲の左端
において、最大値：
をとります。 (iii) 
，つまり、
のとき、
は
のときに最大値：
をとります。また、
は
のときに最小値：
をとります。
(1) 
を満たすすべてのaに対し
の点となるような点
の範囲は、
における
の最大値が0以下になることから、図示すると右図黄緑色着色部(太線境界線を含む)。
(2) 
を満たすいずれかのaに対し
の点となるような点
の範囲は、
における
の最小値が0以下になることから、・
のとき、
∴ 
図示すると右図黄緑色着色部(太線境界線を含む)。
(1)の別解．
を満たすすべてのaに対して
の点となる点
の範囲をEとします。 
を満たすすべてのaに対して
の点となる、ということは、
のときの
はEを含む、ということです。また、
のときの
もEを含む、ということです。従って、です。①は、
・
のとき、
・
のとき、
となるので、
は、直線
から下側でかつ直線
から下側の領域です。
逆に、
内の点が、
を満たすすべてのaに対して
の点になることを調べます。
直線
と直線
の交点は、 ①の境界線：
･･･②
･･･③ ②と③を連立すると、
であれば、
，
においては、
より、②と③の交点はx軸から上側にあります。
②と、
･･･④を連立すると、
であれば、
，
においては、
より、②と④の交点はx軸から上側にあります。
従って、
内の点は、
を満たすすべてのaに対して
の点になります。つまり、
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，つまり、
のとき、
は
のときに最大値：
，つまり、
のとき、
は
のときに最小値：
のとき、
∴ 
のとき、
∴ 
のとき、
∴ 
のとき、
∴ 
，
，
を代入すると、
(
)
のとき、点
は、領域
内の点です。
，つまり、求める領域は、
かつ
となります。