横浜国大理工数学'11年前期[1]
3次関数
について、次の問に答えよ。ただし、kは定数とする。
(1) 
が極値をもつときのxを求めよ。 (2) 方程式
が異なる3つの整数解をもつとき、kの値およびその整数解を求めよ。
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解答 
が極値をもつときのxから、3整数解のうちの1つの範囲を絞り込むことができます。
とすると、
が極値をもつときのxは、
......[答]
において
増加、
において
減少、
において
増加です(3次関数の増減を参照)。
(2) 
が異なる3実数解をもつとすると、3解は、
，
，
の範囲に各1解ずつあります(微分法の方程式への応用を参照)。 
より、
，
なので、
が異なる3つの整数解をもつとすれば、
の範囲の整数、即ち、0，1，2のいずれかを解に持ちます。(i) 
が
を解とするとき、 このとき、
(ii) 
が
を解とするとき、 
∴ 
このとき、
不適です。
(iii) 
が
を解とするとき、 
∴ 
このとき、
以上より、3整数解は、
のとき、
，
のとき、
......[答]
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