横国大理工学部数学'12年[5]
鋭角三角形ABCの
，
，
の大きさをそれぞれ、α，β，γで表す。点D，E，Fはそれぞれ辺CA，AB，BC上にあり、
，
，
を満たす。次の問いに答えよ。
(1) △ABCと△DEFは相似であることを示せ。
(2) 
を示せ。 (3) αが一定のとき、
を最小にするようなβ，γをαで表せ。
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解答 (3)が2変数関数のようで悩みますが、実は1変数関数です。
，
よって、2角が等しいので、△ABCと△DEFは相似です。
(2) 
･･･① Eを通ってACに平行な直線とDFとの交点をG，BCとの交点をHとします。
(同位角)
･･･②HからACに垂線HIを下ろすと、
また、
･･･③①，②，③より、
(3) 
は、αが一定であるとき、β，γの2変数関数のように思えますが、
という関係があるので、実は1変数関数です。 γを消去してβの1変数関数の形に表してもよいのですが、ここでは、β，γの2文字のままやってみます。まず、(2)の結果をβで微分します。γは、βの関数であることに注意してください。
の両辺をβで微分します。
∴ 
④に代入して、
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(1) 
，
とすると、
のとき、
，
となるので不適です。
のとき、
，
より、
より、
です。
の範囲を動くとき、
のときには、
，
より
のときには、
，
より
において減少、
において増加します(関数の増減を参照)。
を最小にするようなβ，γは、
......[答]