阪大理系数学'22年前期[1]
rを正の実数とする。複素数平面上で、点zが点
を中心とする半径rの円周上を動くとき、
を満たす点wが描く図形を求めよ。
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解答 頻出タイプの複素数平面上の変換の問題です。なお、複素数の図形的応用を参照してください。
点zが点
を中心とする半径rの円周上を動くので、
･･･①
与式：
において、
とすると、
となり成立しないので
，このとき、
これを①に代入すると、
∴ 
･･･②
wは、点1との距離、点3との距離の比が
：1となる点です。
，つまり
のときには、点1 と点3から等距離の点、つまり、wの描く図形は、点1と点3を結ぶ線分の垂直二等分線、即ち、点2を通り実軸に垂直な直線になります。
のときには、アポロニウスの円になります。このとき、
点3と点1を
：1に内分する点Pは、
点3と点1を
：1に外分する点Qは、
wの描く図形は、点P，点Qを直径の両端とする円で、その中心は、線分PQの中点であって、
半径は、PQの
であって、
よって、wの描く図形は、
のとき、点2を通り実軸に垂直な直線。
のとき、点
を中心とする半径
の円 ……[答]
別解．②から計算で求める場合は、②の分母を払って両辺を2乗し、
のとき、
∴ 
よってwの実部は2です。wは点2を通り実軸に垂直な直線上の点です。
のとき、
これは、点
を中心とする半径
の円です。
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