阪大理系数学
'22
年前期
[1]
r
を正の実数とする。複素数平面上で、点
z
が点
を中心とする半径
r
の円周上を動くとき、
を満たす点
w
が描く図形を求めよ。
解答
頻出タイプの複素数平面上の変換の問題です。
点
z
が点
を中心とする半径
r
の円周上を動くので、
・・・@
与式:
において、
とすると、
となり成立しないので
,このとき、
これを@に代入すると、
∴
・・・A
w
は、点
1
との距離、点
3
との距離の比が
:
1
となる点です。
,つまり
のときには、点
1
と点
3
から等距離の点、つまり、
w
の描く図形は、点
1
と点
3
を結ぶ線分の垂直二等分線、即ち、点
2
を通り実軸に垂直な直線になります。
のときには、アポロニウスの円になります。このとき、
点
3
と点
1
を
:
1
に内分する点
P
は、
点
3
と点
1
を
:
1
に外分する点
Q
は、
w
の描く図形は、点
P
,点
Q
を直径の両端とする円で、その中心は、線分
PQ
の中点であって、
半径は、
PQ
の
であって、
よって、
w
の描く図形は、
のとき、点
2
を通り実軸に垂直な直線。
のとき、点
を中心とする半径
の円
……[
答
]
別解.Aから計算で求める場合は、Aの分母を払って両辺を
2
乗し、
・・・B
のとき、
∴
よって
w
の実部は
2
です。
w
は点
2
を通り実軸に垂直な直線上の点です。
のとき、
∴
∴
これは、点
を中心とする半径
の円です。
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