阪大理系数学'22年前期[1]

rを正の実数とする。複素数平面上で、点zが点を中心とする半径rの円周上を動くとき、
を満たす点wが描く図形を求めよ。

解答 頻出タイプの複素数平面上の変換の問題です。

zが点を中心とする半径rの円周上を動くので、 ・・・@
与式:において、とすると、となり成立しないので,このとき、
これを@に代入すると、 ∴
 ・・・A
wは、点1との距離、点3との距離の比が1となる点です。
,つまりのときには、点
1 と点3から等距離の点、つまり、wの描く図形は、点1と点3を結ぶ線分の垂直二等分線、即ち、点2を通り実軸に垂直な直線になります。
のときには、アポロニウスの円になります。このとき、
3と点11に内分する点Pは、
3と点11に外分する点Qは、
wの描く図形は、点P,点Qを直径の両端とする円で、その中心は、線分PQの中点であって、
半径は、PQであって、
よって、wの描く図形は、
のとき、点
2を通り実軸に垂直な直線。
のとき、点を中心とする半径の円
……[]
別解.Aから計算で求める場合は、Aの分母を払って両辺を2乗し、



 ・・・B
のとき、 ∴
よってwの実部は2です。wは点2を通り実軸に垂直な直線上の点です。
のとき、



これは、点を中心とする半径の円です。



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