阪大理系数学'23年前期[2]

平面上の3OAB
 かつ 
をみたすとする。
(1) を求めよ。
(2) 平面上の点P
 かつ 
をみたすように動くとき、の最大値と最小値を求めよ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 内積計算の問題です。一々とかと書くのは面倒なので、これを文字に置き換えましょう。

() ()とおくと、より、
 ・・・@
 ・・・A
より、
 ・・・B
@−Aより、
より、
@に代入すると、

 ・・・C
をBに代入すると、
 ・・・D
3−D×5より、
 ∴
Cより、
 ∴ よりより

(1)
......[]
これより、
そこで以降は、を基にして考えるのではなく、
 ・・・E, ・・・F
とおいて、を基にして考えることにします。です。また、問題文より ・・・G です。
注.最初からE,Fのようにおけば、なので、問題文中のはGを使って、となり、がすぐに求められます。

(2) E+Fより、 ∴
(2)問題文の最初の条件:より、Pは、で定まる点Cを中心とする半径の円C(円周上を含む。右図参照、円Cの双方に接することに注意)の点です。
Eを用いて、
(2)問題文のあとの条件:を考えます。Gのより、のなす角をθとして、 (内積を参照)は、点Pからに下ろした垂線をPHとして、,つまり、の方向への正射影の長さです。より、右図で、で定まる点をBBを通りに垂直な直線と円Cとの2交点のうちBでない方をAとして、円C内の点の位置ベクトル方向への正射影が以下になるのは、右図で灰色に着色した部分(C内の直径ABから左側の半円部分)に点Pが位置するときです。
この部分の中で、点
Oから最も遠い点はAであり、最も近い点は、線分OCと円Cとの交点Dです。
(Cの直径)より、
(Cの半径)より、
よっての最大値は,最小値は
......[]



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。

【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。