阪大理系数学'23年前期[2]
平面上の3点O，A，Bが
かつ 
(1) 
を求めよ。 (2) 平面上の点Pが
かつ 
をみたすように動くとき、
の最大値と最小値を求めよ。
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解答 内積計算の問題です。一々
とか
と書くのは面倒なので、これを文字に置き換えましょう。
(
)，
(
)，
とおくと、
より、
･･･①
･･･②
より、
･･･③
，
より、
①に代入すると、
･･･④
を③に代入すると、
･･･⑤
∴ 
(1) 
......[答]これより、
⊥
そこで以降は、
，
を基にして考えるのではなく、 
･･･⑥，
･･･⑦とおいて、
，
を基にして考えることにします。
⊥
です。また、問題文より
･･･⑧ です。 注．最初から⑥，⑦のようにおけば、
なので、問題文中の
は⑧を使って、
となり、
がすぐに求められます。
(2)問題文の最初の条件：
より、Pは、
で定まる点Cを中心とする半径
の円C内(円周上を含む。右図参照、円Cが
，
の双方に接することに注意)の点です。
⑥を用いて、(2)問題文のあとの条件：
を考えます。⑧の
より、
と
のなす角をθとして、
(内積を参照)は、点Pから
に下ろした垂線をPHとして、
，つまり、
の
の方向への正射影の長さです。
より、右図で、
で定まる点をB，Bを通り
に垂直な直線と円Cとの2交点のうちBでない方をAとして、円C内の点の位置ベクトル
の
方向への正射影が
以下になるのは、右図で灰色に着色した部分(円C内の直径ABから左側の半円部分)に点Pが位置するときです。
この部分の中で、点Oから最も遠い点はAであり、最も近い点は、線分OCと円Cとの交点Dです。
，
(円Cの直径)より、
，
(円Cの半径)より、
よって
の最大値は
，最小値は
......[答]
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∴ 
，
より
，
より
(2) ⑥＋⑦より、
∴ 