一橋大数学'05年前期[1]
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kは整数であり、3次方程式
は3つの異なる整数解をもつ。kとこれらの整数解をすべて求めよ。
解答 シラミつぶしで調べて行く範囲を、いかに絞るか、ということで解決できる整数問題です。なお、
のグラフを考えていくこともできます。
・・・@ @の3解をp,q,r (
)とすると、3次方程式の解と係数の関係より、
Aより、
Bに代入すると、
整理して、
ここでどうするかですが、
より、
・・・D
なので、
が出てくるように平方完成し、4倍すると、
・・・E
より、
∴ 
これをみたすような整数
は、
の4通りしかありません。
また、AやDから考えると、3解のうち最も小さなpは
です。
(i)
,つまり、
のとき、 Dより、
これを満たす整数qは、
これは、Eを満たさず不適。 (ii)
,つまり、
のとき、 Dより、
これを満たす整数qは、
どちらもEを満たさず不適。 (iii)
,つまり、
のとき、 Dより、
これを満たす整数qは、
このうちEを満たすのは、
このとき、Aより、
Cより、
(iv)
,つまり、
のとき、 Dより、
これを満たす整数qは、
このうちEを満たすのは、
このとき、Aより、
Cより、
以上より、
のとき、3解は
,
,4,
のとき、3解は
,1,3 ......[答]
別解 @〜Cのあと、@で、
とすると、
となり題意を満たさないので、
であり、
は@の解にはなりません。
@で、
,
とすると、
なので、
Aより、p,rは異符号で、
,
であって、
従って、
であり、
に限られます。
(i)
のとき、
(ii)
のとき、
(iii)
のとき、
のとき、Aより、
,
,
,
のとき、Aより、
,
,
,
(i)と同じ解の組が出てきます。 以上より、
のとき、3解は
,
,4,
のとき、3解は
,1,3 ......[答]
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