一橋大数学'05年前期[1]
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kは整数であり、3次方程式
は3つの異なる整数解をもつ。kとこれらの整数解をすべて求めよ。
解答 シラミつぶしで調べて行く範囲を、いかに絞るか、ということで解決できる整数問題です。なお、
のグラフを考えていくこともできます。
･･･①
)とすると、3次方程式の解と係数の関係より、
②より、
③に代入すると、
整理して、
ここでどうするかですが、
より、
･･･⑤
なので、
が出てくるように平方完成し、4倍すると、
･･･⑥
より、
∴ 
これをみたすような整数
は、
の4通りしかありません。
また、②や⑤から考えると、3解のうち最も小さなpは
です。
(i) 
，つまり、
のとき、 ⑤より、
これを満たす整数qは、
これは、⑥を満たさず不適。 (ii) 
，つまり、
のとき、 ⑤より、
これを満たす整数qは、
どちらも⑥を満たさず不適。 (iii) 
，つまり、
のとき、 ⑤より、
これを満たす整数qは、
このうち⑥を満たすのは、
このとき、②より、
④より、
(iv) 
，つまり、
のとき、 ⑤より、
これを満たす整数qは、
このうち⑥を満たすのは、
このとき、②より、
④より、
以上より、
のとき、3解は
，
，4，
のとき、3解は
，1，3 ......[答]
別解 ①～④のあと、①で、
とすると、
となり題意を満たさないので、
であり、
は①の解にはなりません。
①で、
，
とすると、
なので、
②より、p，rは異符号で、
，
であって、
従って、
であり、
に限られます。
(i) 
のとき、
(ii) 
のとき、
(iii) 
のとき、
のとき、②より、
，
，
，
のとき、②より、
，
，
，
(i)と同じ解の組が出てきます。
のとき、3解は
，
，4，
のとき、3解は
，1，3 ......[答]
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･･･②
･･･③
･･･④
のとき、②より、
，
，
，
のとき、②より、
，
，
，
なので②より、
の2解で、
より不適。