一橋大数学'06年前期[1]
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次の条件(a)，(b)をともにみたす直角三角形を考える。ただし、斜辺の長さをp、その他の2辺の長さをq，rとする。
(a) p，q，rは自然数で、そのうちの少なくとも2つは素数である。
(b) 
(1) q，rのどちらかは偶数であることを示せ。
(2) p，q，rの組をすべて求めよ。
解答 ピタゴラス数を題材とする整数問題です。(1)は背理法で示します。
三平方の定理より、
･･･①
が成立します。
(1) q，rがともに奇数だと仮定します。
，
も奇数なので、
は偶数であり、pも偶数です。pが偶数なら
は4の倍数です。c，dを自然数として、
，
とおくことができますが、
であり、
は4の倍数にならず、矛盾が起きます。
ということは、q，rがともに奇数だとした仮定は誤りであり、q，rのどちらかは偶数です。
(2) (1)よりq，rのどちらかは偶数なので、rを偶数だとして、
(eは自然数)とおきます。
①より、
･･･②p，qがいずれか一方が奇数で他方が偶数だとすると、
，
はともに奇数で
に等しくなることはありません。よって、p，qはともに奇数かともに偶数で(ともに偶数だと条件(a)に反するのでともに奇数です)、
，
はともに偶数です。k，mを自然数だとして、 とおくと、②より、
∴ 
s，tを自然数として、
とおくと、 ここで、
なので
ということはあり得ません。よって、次の(i)，(ii)の2つの可能性が考えられます。 (i) 
，
のとき、③より、 
，
p，qについて解くと、
なので、条件(a)より、
に限られます。条件(b)より、∴ 
よって、この場合には条件をみたすp，q，rの組はありません。
条件(b)より、
∴ 
tと
は66の約数ですが、
をみたすのは、
，
のみです。
このとき、
，
，
上記では、rを偶数として考えてきましたが、qが偶数だとしても、全く同様にして、
，
，
条件をみたすp，q，rの組は、
......[答]
追記．上記では、条件(a)がついているので、(i)の場合から答が出てきませんでしたが、条件(a)を外すと、(i)で
，
として、
となる組
が得られます。よく知られた3辺の比が5：4：3となる直角三角形です。
をみたす自然数の組をピタゴラス数などと呼ぶことがあります。例えば、
などが知られています。
上記の(i)の場合は、条件(a)がついていて
に限られるのであれば、(ii)の場合に含まれます。(ii)を見ていると、自然数s，tをもってきて、
とすると、ピタゴラス数となる自然数の組
が得られることがわかります。実際、
です。
京大文系'99後期[5]：
自然数a，b，cについて、等式
が成り立ち、かつ、a，bは互いに素とする。このとき、次のことを証明せよ。 (1) aが奇数ならば、bは偶数であり、したがってcは奇数である。
(2) aが奇数のとき、
となる自然数dが存在する。
(1)は、本問の(1)と同じです。
(2)は、本問(2)の(i)の場合が、条件(a)があると(ii)の場合に含まれて、
と表せる、というところから言えます。
京大理系'92前期[6]では、ピタゴラス数を与える漸化式が出題されています。
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(
より
) ･･･③
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(
より
)のとき、③より、
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