一橋大数学'06年前期[2]


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座標平面上に1辺の長さが2の正三角形ABCがある。ただし、△ABCの重心は原点の位置にあり、辺BCはx軸と平行である。また、頂点Aはy軸上にあってy座標は正であり、頂点Cのx座標は正である。直線に関して3点A，B，Cと対称な点を、それぞれ，，とする。
(1) の座標を求めよ。
(2) △ABCと△が重なる部分の面積を求めよ。
解答　(2)では、△ABCと△が重なる部分は、△ABCから3つの三角形を取り除いた部分で、この3つの三角形が合同であることは図を描けば正三角形の対称性より明らかですが、ここでは、一応確かめておくことにします。

(1) BCの中点をMとすると、より、B，Cのx座標は，1です。
であり、原点Oは、AMを2：1に内分する点なので、，
従って、Aのy座標は，B，C，Mのy座標はです。
Cの座標はとなり、に関してCと対称な点の座標はCのx座標とy座標を入れ替えて、 ......[答]

(2) 求める面積は、右図の黄色着色部分の面積で、正三角形ABCの面積から3つの水色着色部分の三角形の面積を引いたものになります。
ABと，の交点をH，F，BCと，の交点をI，D，CAと，の交点をJ，Eとします。
直線ABは、2点，を通るので、
∴ 　･･･①　(直線の方程式を参照)
直線は、2点，を通るので、
∴ 　･･･②
①と②を連立して、

∴
①に代入すると、
よって、Hです。


また、Iのx座標は，のx座標と同じで、
従って、
直線ABと直線とは、傾きの積が、となるので、直交しています(2直線の平行・垂直を参照)。よって、
BCがx軸に平行でがy軸に平行なことから
さらに、

△ABCと△がに関して対称なことから、
△AEH ≡ △
△CDJ ≡ △
△BFI ≡ △

以上より、
△AEH ≡ △BFI ≡ △CDJ

△BFIの面積は、
正三角形ABCの面積は、
求める面積は、
......[答]


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