一橋大数学'06年前期[3]
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大きさがそれぞれ5，3，1の平面上のベクトル
，
，
に対して、
とおく。
(1) 
，
，
を動かすとき、
の最大値と最小値を求めよ。 (2) 
を固定し、
をみたすように
，
を動かすとき、
の最大値と最小値を求めよ。
解答 座標系を設定したり、各ベクトル間の角の関数を考えたりすると泥沼にハマり込むことになります。さっさと正攻法を見限って、いかに簡便に考えることができるか、と頭を切り換えるところがポイントでしょう。
(1) 
，
のなす角をα，
，
のなす角をβ，
，
のなす角をγとすると、 ですが、
なので、 
･･･①となります。この不等式の右側の不等号の等号が成立するのは、
，つまり、
で、3個のベクトル
，
，
が同じ向きを向いているときです。
よって、
の最大値は、
，
で
となるとき、
となります。
①の左側の不等号の等号が成立するのは、
のときですが、こうなる可能性があるかを調べてみます。
まず、
について、 
なので、つまり、
･･･②
なので、
，つまり、
ということはあり得ません。従って、①の左側の不等号が成立することはありません。ですが、
について②が得られたので、これを使って
を考えてみます。
と
のなす角をθ として、 
を固定して、
を
の2次関数とみると、
，
より、
は
のときに最小値をとります。
のとき、不等号の等号は、
のときに成立しますが、
と
がちょうど逆向きになるときに、
となります。
は、②において左側の不等号の等号が成立するときに起こりますが、このとき、
，
と
はちょうど逆向きで、
となっています。さらに、
と
がちょうど逆向きで、
(
，
に注意)，つまり、
，
で
のとき、
は最小値1をとり、
は最小値1をとります。
最大値：9，最小値：1 ......[答]
(2) 
∴ 
･･･③(1)では
を考えて最小値を求めることができたので、ここでは、
が出てくるようにして考えることにします。 
なので、
つまり、
･･･④
④の右側の不等号の等号が成立するのは、
，つまり、
，
が同じ向きで、
となるときに成立します。
このとき、③より、∴ 
，
となるので、
となる
，
，
の位置関係があり得ます。よって、
の最大値は
です。
④の左側の不等号の等号が成立するのは、
，つまり、
，
が逆向きになり、
となるときに成立します。
このとき、③より、 ∴ 
，
となるので、
となる
，
，
の位置関係があり得ます。よって、
の最小値は
です。
最大値：
，最小値：
......[答]
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，
，
より、
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