一橋大数学'07年前期[3]
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放物線
(
)をCとする。C上に異なる2点P，Qをとり、そのx座標をそれぞれp，q (
)とする。
(1) 線分OQとCで囲まれた部分の面積が、△OPQの面積の
倍であるとき、pとqの関係を求めよ。ただし、Oは原点を表す。 (2) Qを固定してPを動かす。△OPQの面積が最大となるときのpをqで表せ。また、そのときの△OPQの面積と、線分OQとCで囲まれた部分の面積との比を求めよ。
解答 定積分の公式：
が使える問題です(‘05年前期[4]でも出題されています)。もっとも、この問題では、
としても労力はほとんど変わらない、というか、公式を使ってaをかけるのを忘れるくらいなら素直に計算した方が良いくらいですが。
(1) 放物線C：
･･･① C上の点P，Qの座標は、
，
です。
△OPQの面積
は、 直線OQは、傾き
で原点を通る直線なので、 
･･･②①，②は、原点Oと点Qで交わり、
において、②が①の上に来るので、線分OQとCで囲まれた部分の面積
は、 
より、
で割って整理すると、∴ 
または 
......[答]
(2) 
これは、
......[答] のときに最大で、
そのとき、
追記．公式：
が鮮やかに使える問題を紹介しておきます。
東京海洋大'07年[4]：
(1) 座標平面上の2つの放物線
，
の共有点すべて通る円の方程式を求めよ。 (2) 連立不等式
，
の表す領域の面積を求めよ。
解答 2曲線
，
が共有点P
をもつとすると、Pは、両曲線上の点なので、
です。
A，Bを定数として、
として得られる曲線について、
となるので、Pは曲線
上の点です。 ･･･(＊)
(1) A，Bを定数として、
･･･①という曲線は、(＊)より、2放物線の共有点をすべて通ります。①を整理すると、
となりますが、これが円を表すために、
が必要です。このとき、 ①が何らかの曲線を表すためには
，よってAで割ると、 
......[答]
(2) 面積を求める領域は、右図で赤線に囲まれた部分になります。
･･･②
･･･③として、②，③を連立すると、
という解があることはすぐにわかります。②，③の交点は4個ありますが、1つは原点Oです。他の交点を右図のように、P，Q，Rとし、それぞれのx座標をp，q，rとします。
放物線②の軸より右の部分と放物線③の軸より下の部分の交点がP，
放物線②の軸より右の部分と放物線③の軸より上の部分の交点がQ，
放物線②の軸より左の部分と放物線③の軸より上の部分の交点がR，
放物線②の軸より左の部分と放物線③の軸より下の部分の交点がOです。
②のx，yを逆にすると③式になるので、②と③は、直線
に関して対称です。
よって、求める面積S，つまり右図で赤線に囲まれた部分の面積は、 線分OQと放物線③の弧OPと放物線②の弧PQで囲まれた部分の面積
を2倍したもの になります。
は、線分OQと放物線②の弧OQで囲まれる部分(右図クリーム色部分)の面積
から、放物線③の弧OPと放物線②の弧OPで囲まれる部分の面積
を引いたものです。
は、線分OPと放物線②の弧OPで囲まれる部分(右図青線が囲む部分)の面積
から、線分OPと放物線③の弧OPで囲まれる部分(右図黄緑色部分)の面積
を引いたものです。
②と③が直線
に関して対称なことから、
は、線分ORと放物線②の弧ORで囲まれる部分の面積に等しくなります。
②：
の
の係数は1なので、定積分の公式：
を用いると、
の領域は、
にあり、
の領域は、
にあり、
の領域は、
にあり、
よって、 ②＋③より、
，
④より、
......[答]
なお、早大教育'93年にも、同様の出題があります。
xy平面において、領域AをA：
によって定める。領域Aを直線
に関して対称に移した領域をBとするとき、領域
の面積を求めよ。
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：
＝
：
＝3：4 ......[答]
･･･④
または 
のとき、②より、
または 
です。
のとき、②より、
