定積分の公式 関連問題
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この項目については、定積分、定積分と面積も参照してください。
(i) nが奇数の自然数のとき、![](intgform.files/Eqn001.gif)
(ii) nが偶数の自然数または0のとき、![](intgform.files/Eqn002.gif)
(iii)
,
,![](intgform.files/Eqn005.gif)
(iv) ![](intgform.files/Eqn006.gif)
(v) ![](intgform.files/Eqn007.gif)
(vi) ![](intgform.files/Eqn008.gif)
(vii) ![](intgform.files/Eqn009.gif)
[証明](i) ![](intgform.files/Eqn010.gif)
右図で水色の部分の積分は負、黄緑色の部分の積分は正で、足し合わせると打ち消し合ってゼロになります。
(ii) ![](intgform.files/Eqn017.gif)
右図で水色の部分の積分と、黄緑色の部分の積分は等しく、足し合わせると、水色の部分の積分の2倍になります。
(iii) ![](intgform.files/Eqn024.gif)
![](intgform.files/Eqn028.gif)
![](intgform.files/Eqn034.gif)
(iv) ![](intgform.files/Eqn040.gif)
この定積分は、右図の水色の部分、
とx軸とで囲む部分の面積に対応しています。積分区間の
においては、曲線がx軸から下側にくるので定積分の値は負になります。
(v) ![](intgform.files/Eqn046.gif)
この定積分は、右図の水色の部分、
とx軸で囲む部分の面積に対応しています。積分区間の
においては、曲線がx軸から下側にくるので定積分の値は負になります。
(vi) ![](intgform.files/Eqn052.gif)
この定積分は、右図の黄緑色の部分、
とx軸で囲む部分の面積に対応しています。積分区間の
においては、曲線がx軸から上側にくるので定積分の値は正になります。
(証明終)
(vii) 部分積分法を用いて証明します。
例1. ![](intgform.files/Eqn063.gif)
上記の定積分の公式(i),(ii)より、被積分関数:
の奇数次の項の計算は不要(どうせゼロになる)で、偶数次の項については、
から
までの積分範囲を、0から
までに変えた上で(上端、下端のいずれかを0にするだけでも、あとで0を代入するときに計算の手間がかなり軽減される)2倍します。こうして、
例2. ![](intgform.files/Eqn072.gif)
この定積分の計算を、
・・・@ とやると大変なことになってしまいます。
定積分の上端と下端は、被積分関数を0としてできる2次方程式
の解
なので、上記の定積分の公式(iv)を利用して。
![](intgform.files/Eqn078.gif)
・・・A なお、この技巧は、関数
の極大値と極小値の差を求めよ、という問題にも使えます。極大値と極小値を求めるために、
を解いて、
より、
を@のように計算するのでは大変です。そこで、定積分の公式(iv)を用いて、上記Aのようにすれば、
として、ラクに計算することができます。
例3.
とする。曲線:
にx軸上の点
から引いた2本の接線のうち、接点のx座標が正のものと、この曲線と直線:
とで囲まれる部分の面積を求める。
[解答] 曲線:
・・・@
@を微分して、![](intgform.files/Eqn090.gif)
接点のx座標をtとして、接点は
,接線の傾きは![](intgform.files/Eqn092.gif)
接線は、![](intgform.files/Eqn093.gif)
整理して、
・・・A
Aは、
を通るから、
,
を代入して、
∴ ![](intgform.files/Eqn099.gif)
より、
(
)
Aに代入して、接線の方程式は、![](intgform.files/Eqn103.gif)
求める面積は、@からAを引いて、
から
まで積分したものになります。これを、
とやってしまうと損をします。
被積分関数は、
と因数分解できます。
というか、@とAとは、
で接するので、連立すれば、
を重解に持ちます。@の
の係数は1なので、2次関数@が表す曲線と接線とで囲む部分の面積を計算しようとすれば、
の形を積分することになるというのは、接点の座標が求まった時点でわかっていることです。よって、求める面積は、上記の定積分の公式(iii)を用いて、以下のように計算します。
![](intgform.files/Eqn116.gif)
......[答] 2次関数が表す曲線(放物線)と接線とで囲む面積の場合(センター試験、共通テストでよく見かけます)、接点のx座標のところまで積分するので、定積分の上端か下端が接点の座標となり、上記の計算法は非常に有効です。
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