定積分の公式 関連問題
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この項目については、定積分、定積分と面積も参照してください。
(i) nが奇数の自然数のとき、
(ii) nが偶数の自然数または0のとき、
(iii) 
，
，
(iv) 
(v) 
(vi) 
(vii) 
[証明](i) 
右図で水色の部分の積分は負、黄緑色の部分の積分は正で、足し合わせると打ち消し合ってゼロになります。
(ii) 
右図で水色の部分の積分と、黄緑色の部分の積分は等しく、足し合わせると、水色の部分の積分の2倍になります。
(iii) 
(iv) 
この定積分は、右図の水色の部分、
とx軸とで囲む部分の面積に対応しています。積分区間の
においては、曲線がx軸から下側にくるので定積分の値は負になります。
(v) 
この定積分は、右図の水色の部分、
とx軸で囲む部分の面積に対応しています。積分区間の
においては、曲線がx軸から下側にくるので定積分の値は負になります。
(vi) 
この定積分は、右図の黄緑色の部分、
とx軸で囲む部分の面積に対応しています。積分区間の
においては、曲線がx軸から上側にくるので定積分の値は正になります。
(証明終)
(vii) 部分積分法を用いて証明します。
例1． 
上記の定積分の公式(i)，(ii)より、被積分関数：
の奇数次の項の計算は不要(どうせゼロになる)で、偶数次の項については、
から
までの積分範囲を、0から
までに変えた上で(上端、下端のいずれかを0にするだけでも、あとで0を代入するときに計算の手間がかなり軽減される)2倍します。こうして、
例2． 
この定積分の計算を、
･･･①
定積分の上端と下端は、被積分関数を0としてできる2次方程式
の解
なので、上記の定積分の公式(iv)を利用して。
･･･②
の極大値と極小値の差を求めよ、という問題にも使えます。極大値と極小値を求めるために、
を解いて、
より、
を①のように計算するのでは大変です。そこで、定積分の公式(iv)を用いて、上記②のようにすれば、
として、ラクに計算することができます。
例3． 
とする。曲線：
にx軸上の点
から引いた2本の接線のうち、接点のx座標が正のものと、この曲線と直線：
とで囲まれる部分の面積を求める。
[解答] 曲線：
･･･①
①を微分して、
接点のx座標をtとして、接点は
，接線の傾きは
接線は、
整理して、
･･･②
②は、
を通るから、
，
を代入して、
∴ 
より、
(
)
②に代入して、接線の方程式は、
求める面積は、①から②を引いて、
から
まで積分したものになります。これを、
とやってしまうと損をします。
被積分関数は、
と因数分解できます。
というか、①と②とは、
で接するので、連立すれば、
を重解に持ちます。①の
の係数は1なので、2次関数①が表す曲線と接線とで囲む部分の面積を計算しようとすれば、
の形を積分することになるというのは、接点の座標が求まった時点でわかっていることです。よって、求める面積は、上記の定積分の公式(iii)を用いて、以下のように計算します。
......[答]
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(∵ 
は偶数で
)
(∵ 
は奇数で
)
(積分区間の上端と下端を逆にした)
