一橋大数学'09年前期[5]
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X，Y，Zと書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。この中から1枚のカードが選ばれたとき、xy平面上の点Pを次の規則にしたがって移動する。
・Xのカードが選ばれたとき、Pをx軸の正の方向に1だけ移動する。
・Yのカードが選ばれたとき、Pをy軸の正の方向に1だけ移動する。
・Zのカードが選ばれたとき、Pは移動せずそのままの位置にとどまる。
(1) nを正の整数とする。最初、点Pを原点の位置におく。XのカードとYのカードから無作為に1枚を選び、Pを、上の規則にしたがって移動するという試行をn回繰り返す。
(i) n回の試行の後にPが到達可能な点の個数を求めよ。
(ii) Pが到達する確率が最大の点をすべて求めよ。
(2) nを正の3の倍数とする。最初、点Pを原点の位置におく。Xのカード、Yのカード、Zのカードの3枚のカードから無作為に1枚を選び、Pを、上の規則にしたがって移動するという試行をn回繰り返す。
(i) n回の試行の後にPが到達可能な点の個数を求めよ。
(ii) Pが到達する確率が最大の点をすべて求めよ。
解答 (2)(ii)は2次元的になっているところで確率の最大を考えるので、ていねいに調べれば解答できますが手間がかかります。こういう問題では、(1)と(2)(i)を確実に抑えるように心がけましょう。
(1)(i) n回試行を行ったとき、Xのカードをm回引いたとすると、Yのカードは
回引くことになります。このとき、Pの到達する点は
です。 mは、
の
通りの整数をとりうるので、Pが到達可能な点の個数は
個 ......[答] (ii) Pが
に到達する確率
は、n回の試行中、m回Xを引き、
回Yを引く確率で、反復試行の公式より、 mを
の範囲で動かすときの
の最大を考えるために、
と
の比をとってみます。 
とすると、
，
，
よって、
においては、
においては、
においては、
が整数になるかどうかで場合分けします。・nが偶数のとき、
は整数ではありません。よって、 となり、
が最大で、Pが到達する確率が最大の点は、
・nが奇数のとき、
は整数です。よって、 となり、
，
が最大で、Pが到達する確率が最大の点は、
，
以上より、Pが到達する確率が最大の点は、nが偶数のとき
，nが奇数のとき
，
......[答]
(2)(i) n回試行を行ったとき、Xのカードをm回引き、Yのカードを
回引いたとすると、Zのカードは
回引くことになります。このとき、Pの到達する点は
です。 
，
より、
これをみたす
は、
のとき1通り、
のとき2通り、･･･、
のときn通り、
のとき
通りあります。Pが到達可能な点の個数は、
個 ......[答](ii) Pが
に到達する確率
は、n回の試行中、m回X，
回Y，
回Zを引く確率で、 ここで、mと
が勝手に動くのでは考えにくいので、まず、
としてkを固定して考えることにします(直線
上の格子点について確率
を比較します)。こうすると(1)の結果を利用することができます。 とおくと、
(1)と同様にして、
・kが偶数のとき、
(
とおく)が最大です。
・kが奇数のとき、
(
とおく)が最大です。
今度は、kを0からnまで動かしたときの、
，
の最大を考えます。 ・kが偶数(
)のとき、 
とすると、
を解くと複号はプラスのときに
となり、マイナスのときに
となります。 より、
･･･②①をみたすkの範囲は、
ですが、②より、
においては
，
においては
となります。よって、 となり、
が最大になります。 ・kが奇数(
)のとき、 
においては、
従って、
においては
においては
においては
よって、となり、
が最大になります。 kが偶数の場合の最大値と奇数の場合の最大値を比較すると、
∴ 
以上より、Pが到達する確率が最大となるのは、
，
のときで、
確率を最大とする点は、
......[答]
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