一橋大数学'10年前期[2]


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aを実数とする。傾きがmである2つの直線が、曲線とそれぞれ点A，点Bで接している。
(1) 線分ABの中点をCとすると、Cは曲線上にあることを示せ。
(2) 直線ABの方程式がであるとき、a，mの値を求めよ。
解答　数学Ⅱの微分の計算問題です。

(1)
とおきます。
　(微分を参照)
傾きmの接線をもつとき、

　･･･①
この方程式の2解をα，β として、解と係数の関係より、
，　･･･②
点A，点Bの座標は、，，線分ABの中点Cは、
②を用いて、




より、線分ABの中点Cは、曲線上の点です。
追記．より、曲線は変曲点をもちます。3次関数のグラフは変曲点に関して対称なので、傾きの等しい接線が引ける異なる2点の中点は変曲点になります。

(2) 直線ABと曲線は、3点A，B，Cで交わります。
直線AB：
と連立すると、
　･･･③
直線AB上の点Cが上の点なので、③はという解をもちます。よって、
より、aは実数なので、 ......[答]
このとき、③は、

()は、線分ABの中点Cの座標なので、A，Bのx座標はです。方程式①の2解はであって、②より、
......[答]


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