一橋大数学'11年前期[4]
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a，b，cを正の定数とする。空間内に3点A
，B
，C
がある。
(1) 辺ABを底辺とするとき、△ABCの高さをa，b，cで表せ。
(2) △ABC，△OAB，△OBC，△OCAの面積をそれぞれS，
，
，
とする。ただし、Oは原点である。このとき、不等式 が成り立つことを示せ。
(3) (2)の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ。
解答 (2)，(3)は、コーシー・シュワルツの不等式：
(不等式の証明を参照)を利用します。
(1) 
，
よって、辺ABを底辺とするときの△ABCの高さhは、
......[答]
(2) △OABの面積は、
，△OBCの面積は、
，△OCAの面積は、
というベクトルを考えると、
です。また、
というベクトルを考えると、
，
と
がなす角をθ として、コーシー・シュワルツの不等式：
より、∴ 
(3) (2)の不等式において、等号が成立するのは、
，つまり、
// 
のときです。 このとき、
// 
より、
，即ち(2)の不等式において等号が成り立つための条件は、
......[答]
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