中間値の定理 関連問題
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中間値の定理：閉区間
において連続な関数
について、
，または、
を満たすpに対して、
，
を満たすcが存在する。
[証明]・
のときは、
または
とすればよいので明らか。
・
のとき、
として、
，
となるcが(
，
より、
とか
ということはあり得ない)存在しない ･･･① と仮定します。
ここで、関数
として関数
を考えると、
において、
は連続な関数であり、
なので、
もまた連続な関数です。
最大値・最小値の定理により、
は、
において、最大値、最小値をもちます。
，
より、
は正の値も負の値もとる関数です。従って、
の最大値Mは
であり、最小値mは
です。
より、
かつ
，であって、つまり、
は、
となる値をとり得ません(
に注意)。
は正の値も負の値もとる関数であり、
，
より、
であって、
において
，
において
となるα，β，γが必ず存在します(正確には、実数の稠密性が前提になっています)。
このとき、
において
より、
，また、
において
より、
∴ 
これは、
が存在しないこと、さらに、
，即ち
が
において連続でないことを意味しており、
が
において連続であることに反します。
よって、仮定①は誤りです。
従って、
のとき、
として、
，
となるcが存在します。
の場合も同様です。 (証明終)
例．方程式：
が
の範囲に実数解をもつことを示す。
[解答] 
とおくと、
，
中間値の定理により、
は、
の範囲に実数解をもちます。
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