慶大理工数学'12年[3]
袋の中に文字
，
，
が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつと、文字
が書かれたカードが何枚か入っている。いま、袋の中から1枚ずつカードを取り出し、
，
，
，
のすべての文字のカードがそれぞれ1枚以上出たところで終了する。ただし、一度取り出したカードは袋の中には戻さないものとする。
(1) 袋の中に文字
が書かれたカードが7枚あり、合計10枚のカードが入っている場合を考える。3枚目に文字
のカードを取り出す確率は ク であり、1枚目または3枚目に文字
のカードを取り出す確率は ケ である。また、最後に取り出したカードに書かれている文字が
である確率は コ である。 (2) 袋の中に文字
が書かれたカードがn枚 (
)あり、合計
枚のカードが入っている場合を考える。k枚目で終了する確率を
とすると、
サ であり、
に対しては
シ である。いま、終了した時点で袋の中に残っているカードの枚数の期待値を
とすると、
ス が成り立つ。
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解答 余事象をうまく利用して解答しましょう。
(1) 1枚目でも、2枚目でも、3枚目でも、何枚目でも、10枚のカードから文字
のカード7枚のうち1枚を取り出す確率は
です。 (ク) 
......[答]
1枚目または3枚目に文字
のカードを引く事象の余事象は、1枚目にも3枚目にも文字
，
，
が書かれたカードのどれかを引く事象です。1枚目に文字
，
，
が書かれたカードのどれかを引く確率は
，その後、3枚目に文字
，
，
が書かれたカードのどれかを引く確率は
求める確率は、
(ケ) 
......[答]最後に取り出したカードに書かれている文字が
である確率と、
である確率と、
である確率は等しく、最後に取り出したカードに書かれている文字が
または
または
である事象の余事象は、最後に取り出したカードに書かれている文字が
である事象です。
取り出すカード10枚を1列に並べ左端から順に取り出すとして考えると、最後に取り出したカードに書かれている文字が
になるのは、左端から順に
または
または
の3枚が並んでいる場合です。こうなる確率は、10枚の中から
または
または
の3枚を入れる位置を選ぶのが
通りあるので、
求める確率は、
(コ) 
......[答]
(2) 取り出す
枚のカードを1列に並べて左端から順に取り出すとして考えると、4枚目に終了するのは、左端から4枚の中に
，
，
，
のすべての文字のカードが1枚ずつ含まれる場合です。
枚の中から
または
または
の3枚を入れる位置を選ぶのが
通りあり、このうち左端から4枚の中に
，
，
の3枚がすべて含まれるのは、
の位置が4通りあるので、4枚目に終了する確率
は、 (サ) 
......[答]
に対して、k枚目に終了するのは、左端からk枚目が
，
，
のどれかで、左から
枚の中に
，
，
のうち2枚が含まれる場合です。
左から
枚の中に
，
，
のうち2枚を入れる位置の選び方が
通り、残る1枚の入れる位置は1通りなので、求める確率
は、 (シ) 
......[答]
k枚目で終了するとき、袋の中に残っているカードの枚数は、
枚です。残っているカードの枚数の期待値
は、 
のとき、(ス) 
......[答]
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