慶大理工数学'12年[4]
ABCDEを1辺の長さが1の正方形ABCDを底面とし、4個の正三角形を側面とする正四角錐とする。
(1) △CDEの重心をGとする。ベクトル
を
，
，
で表すと、
セ となる。 (2) 
でないベクトル
が平面α上の任意のベクトルと垂直なとき、
は平面αと垂直であるという。
(a，b，cは実数)が△CDEを含む平面と垂直なとき、a：b：c ＝ ソ である。よって、
かつ
となるようにa，b，cを定めると、
タ となる。
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解答 (3)は、まともでは大変なので、工夫が必要です。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1)(セ) 
より、
......[答]
△CDEを含む平面上の2つのベクトル
，
は
と垂直です。
より、 
･･･①
･･･②a：b：c ＝ 
：
：1 ＝ 
：1：2 ......[答] (タ) 
，
として、 ∴ 
よって、
......[答]
(3)(チ) 
も△CDEと垂直なので、
と
は平行です。従って、 CDの中点をMとして、正三角形CDEの高さ
は、 
より、
と
のなす角は鋭角なので、
となるのであれば、
で、
です。よって、
......[答]これと
より、四角形ADFEはひし形です。また、
は正三角形CDEの高さの2倍で、
(ツ) (チ)の結果を用いて、
......[答]△AHFの面積Sは、
より、
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を
，
，
で表すと、
チ となる。また、Hを辺ECの中点とすると、
ツ であり、△AHFの面積は テ である。
，
，
，②に代入して、
