慶大理工数学'20年[2]
(1) 
を整式とし、
を
の導関数とする。このとき、
が方程式
の解となることは、
が方程式
の2重解となるための必要条件であることを証明しなさい。
(2) kが0でない実数を動くとき、放物線
：
と円
：
の共有点の個数は最大で
個である。
(3) (2)において、放物線
と円
の共有点の個数がちょうど1個となるkを考える。このとき、共有点のx座標はkの値によらず
である。また、kの取り得る値は
である。
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解答 素直に進めると(3)で行き詰まるかも知れません。(1)をうまく利用することを考えます。
とおけます。このとき、
よって、
は方程式
の解であり、
が方程式
の解となることは、
が方程式
の2重解となるための必要条件です。(証明終)
連立すると、
とおくと、
よって、
はxの単調増加関数で、
，
より、方程式
はただ1つの実数解αを持ちます。
において
より
は単調減少、
において
より
は単調増加、
は
において最小値
をもちます。 ・
のとき、方程式
は実数解を持たず、
と
の共有点はありません。 ・
のとき、方程式
はただ1つの実数解
を持ち、
と
の共有点は1個です。 ・
のとき、方程式
は2個の実数解を持ち、
と
の共有点は2個です。 以上より、
と
の共有点の個数は最大で2個 ......[答]空所補充式で論述不要の慶大理工では、実戦的には、
と
のグラフを描けばこの結果は明らかです。
(3) (2)において、放物線
と円
の共有点の個数がちょうど1個のとき、(2)での検討より
となりますが、
の解αが求められません。そこで、(1)を利用して、αが、方程式
と方程式
の共通解であることを利用します。 
･･･①
･･･②両者から最高次の項を消すために、①×4－②×xを作ると、
･･･③∴ 
①，②の共通解αは、③の解にもなります。②で
とすると、
となるので、
より、
であり、共有点のx座標、つまり、①，②の共通解は、
......[答]注．共通解が
のとき、
となり、kは実数になりません。
②で
として、 ∴ 
，
......[答]
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が方程式
の2重解であれば、
を整式として、
(2) 
：
，
：
･･･①
