慶大理工数学'20年[3]
赤い玉と白い玉が3個ずつ入った箱があり、次のような操作を繰り返す。表の出る確率がp，裏の出る確率が
のコインを投げ、
● 表が出た場合、1個の玉を箱から取り出す。
● 裏が出た場合、2個の玉を同時に箱から取り出す。
(1) 
とし、各操作で取り出した玉はもとの箱に戻すものとする。2回の操作で取り出した玉の色がすべて赤である確率は
である。 また、3回の操作で取り出した玉の総数が5個であるという条件の下で、取り出した玉の色がすべて赤である確率は
である。
(2) 
とし、各操作で取り出した玉は箱に戻さないものとする。2回の操作で取り出した玉の色がすべて赤である確率は
である。
(3) 
とし、各操作で取り出した玉は箱に戻さないものとする。3回の操作で赤い玉と白い玉をちょうど2個ずつ取り出す確率は
である。 また、3回の操作で取り出した赤い玉と白い玉の数が等しい確率が
となるのは
のときである。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 「2回の操作で取り出した玉の色がすべて赤」という表現に早合点しないように。2回目の玉の色が赤、と言っているのではなく、1回目の玉の色がすべて赤であってかつ2回目の玉の色もすべて赤、ということです。
(1)(コ) 各操作で取り出した玉を元に戻すので、1回目、2回目で同じことが繰り返されます。1回の操作において、
・表が出た場合(確率
)、取り出された1個が赤である確率は
･･･① ・裏が出た場合(確率
、取り出された2個がともに赤である確率は、全事象が6個の玉から2個をとるので
通り、2個がともに赤になるのは3個の赤玉から2個をとるので
通り、よって、
･･･② 2個とも赤の確率は、
2回の操作で取り出した玉の色がすべて赤である確率は、
......[答]
(サ) 3回の操作で取り出した玉の個数が5個(1個＋2個＋2個)になるのは、3回の操作のうち2回が裏、1回が表、となるときで、3回の操作のどの回で表が出るかが3通りあり、その確率は、
例えば、1回目が表で2回目と3回目が裏の場合、①，②より、すべて赤玉になる確率は、
2回目が表で1回目と3回目が裏の場合も、3回目が表で1回目と2回目が裏の場合も同じく
で、3回の操作で取り出した玉がすべて赤となる確率は、
3回の操作で取り出した玉の総数が5個であるという条件の下で、取り出した玉の色がすべて赤である確率は、
......[答] (条件付き確率を参照)
(2)(シ) 各操作で取り出した玉は箱に戻さないので、1回目と2回目では玉の個数に違いがあります。
(i) 1回目が表(確率
)のとき、取り出される1個が赤の確率は、6個から3個の赤のうちの1個をとり(確率
)、 ・2回目が表(確率
)のとき、取り出される1個が赤の確率は、5個から2個の赤のうちの1個をとる確率で
・2回目が裏(確率
)のとき、取り出される2個がともに赤の確率は、5個から2個取って、2個とも赤の確率で
(ii) 1回目が裏(確率
)のとき、6個の玉から2個取るのが
通り、3個の赤のうち2個をとるのが
通り、取り出される2個がともに赤の確率は、
・2回目が表(確率
)のとき、取り出される1個が赤の確率は、4個の玉から1個の赤をとる確率で
・2回目が裏のとき、取り出される2個がともに赤(だとすると赤玉が4個になってしまいます)ということは起こりません。
以上より、2回の操作で取り出した玉の色がすべて赤である確率は、 
......[答]
(3)(ス) 3回の操作で赤玉と白玉を2個ずつ取り出すので、3回の操作で4個の玉を取り出すことになります。つまり、3回の操作のうち、2回が表(確率p)、1回が裏(確率
)です。3回のうちどの回が裏かが3通りあります。例えば、表表裏と出たとして、6個の玉を取り出す順に並べるとき、6個のうちどの3個を赤玉にするかが
通りあって同様に確からしく、そのうち、取り出される4個の中でどの2個を赤玉にするかが
通り、取り出される4個以外の2個のどちらが赤かが2通り(右図を参照)。表裏表、裏表表でも同じです。よって、3回の操作で赤い玉と白い玉をちょうど2個ずつ取り出す確率は、
別解．例えば、表表裏と出るとき、各回、赤1個、赤1個、白2個と取り出す場合と、赤1個、白1個、赤白1個ずつ取り出す場合(ここでさらに、赤と白が入れ替わった場合がある)とが考えられます。
1回目に6個の玉から3個の赤玉のうちの1個を取り出す確率は
，2回目に5個の玉から2個の赤玉のうちの1個を取り出す確率は
，3回目は、4個の玉のうち2個を取り出すのが
通り、そのうち3個の白玉のうちの2個を取り出すのが
通りで確率は
，表表裏と出て赤1個、赤1個、白2個と取り出す確率は、 表表裏と出て、1回目に赤を取り出したとき、2回目に3個の白玉のうちの1個を取り出す確率は
，3回目に2個の赤玉のうちの1個と2個の白玉のうちの1個を取り出す確率は
，表表裏と出て赤1個、白1個、白赤1個ずつ2個と取り出す確率は、 上記で赤と白が入れ替わる場合を含めて、表表裏と出て、赤2個白2個を取り出す確率は、
表裏表、裏表表と出る場合も同じ確率で、求める確率は、
(セ) 3回の操作で、3個以上の玉が取り出されるので、赤も白も1個ずつ取り出す、あるいは、赤も白も0個、ということは起こりません。3回の操作で、赤も白も3個ずつ取り出すときは、3回とも「裏が出て2個ずつ玉を取り出す」ので、6個全部取り出して赤も白も3個ずつになります。この確率は
です。(ス)も含めて赤白同数になる確率は、 これが
に等しくなるとき、 
より、
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
慶大理工数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
∴ 
......[答]