京大理系数学'01年後期[5]
行列
および実数xに対し、行列を用いて表されたx,yに関する2つの連立1次方程式
(i)
,(ii) 
について、次の条件(*)を考える。
(*) 方程式(i)には解が存在して、方程式(ii)には解が存在しない。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 条件(*)が成り立つとき、
,
は、いずれも
の実数倍であることを示せ。 (2) 条件(*)をみたす2つの連立方程式を作ることができるためのsの条件を求めよ。
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解答
でx,yを未知数,
でp,qを与えられた定数として、2次の正方行列
を用いて表される連立方程式:
・・・@ 即ち、
を考えます。
であれば
が存在するので、@両辺の左から
をかけて、
これが連立方程式@の解を与えます。即ち、
であれば連立方程式@は解をもちます。
のときには、
・Aの表す直線とBの表す直線が同一の直線であるか、または、どちらか一方のみが直線を表す場合、即ち、
,または、
,
,
となる実数kが存在する場合には、a,bのいずれか一方が0でなければ直線
上のすべての点、または、
であれば直線
上のすべての点の座標
が連立方程式の解になりますが、いずれにしても解が無数にあって1つに決まらないので、「不定」と言います。 ・Aの表す直線とBの表す直線が平行で異なる直線である場合、連立方程式は解をもちません。この場合を、「不能」と言います。
本問は、方程式(ii)に解がない、不能である、と言っているので、
ですが、方程式(i)には解が存在するので、方程式(i)は不定であることになります。
(1) 方程式(ii)に解が存在しないので
は存在せず、
・・・CCにもかかわらず、連立方程式(i):
が解をもつので、DとEは同一の直線を表す方程式になるか、または、どちらか一方のみが直線を表します。(i) Dが直線を表さないとき、
(ii) Eが直線を表さないとき、
,
(iii) DとEが同一の直線を表すとき、
・
のとき、Cより
ですが、DとEが同一の直線を表すために、 ・
のとき、DとEが同一の直線を表すために、
また、
,
を満たす実数kが存在します。よって、
(2) (1)より、k,hを実数として、
とおけます。
のときには、連立方程式を作ることができないので、k,hのどちらか一方は0ではありません。
連立方程式(i)は、 このとき、(i)は、
(Fが直線を表さない),
(Gが直線を表さない)の場合も含めて、 を満たす
を解にもちます。
連立方程式(ii)は、 これが解をもたないということは、Hのあらわす直線とIの表す直線が平行で異なる直線だということです。Hより、
ということはありえません。Hに
をかけた式とIが異なる直線を表すための条件は、
よって、条件(*)をみたす2つの連立方程式を作ることができるためのsの条件は、
......[答]
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