京大理系数学'01年後期[5]
行列
および実数xに対し、行列を用いて表されたx，yに関する2つの連立1次方程式
(i) 
，(ii) 
について、次の条件(＊)を考える。
(＊) 方程式(i)には解が存在して、方程式(ii)には解が存在しない。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 条件(＊)が成り立つとき、
，
は、いずれも
の実数倍であることを示せ。 (2) 条件(＊)をみたす2つの連立方程式を作ることができるためのsの条件を求めよ。
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解答 
でx，yを未知数，
でp，qを与えられた定数として、2次の正方行列
を用いて表される連立方程式：
･･･①
を考えます。
であれば
が存在するので、①両辺の左から
をかけて、
これが連立方程式①の解を与えます。即ち、
であれば連立方程式①は解をもちます。
のときには、
・②の表す直線と③の表す直線が同一の直線であるか、または、どちらか一方のみが直線を表す場合、即ち、
，または、
，
，
となる実数kが存在する場合には、a，bのいずれか一方が0でなければ直線
上のすべての点、または、
であれば直線
上のすべての点の座標
が連立方程式の解になりますが、いずれにしても解が無数にあって1つに決まらないので、「不定」と言います。 ・②の表す直線と③の表す直線が平行で異なる直線である場合、連立方程式は解をもちません。この場合を、「不能」と言います。
本問は、方程式(ii)に解がない、不能である、と言っているので、
ですが、方程式(i)には解が存在するので、方程式(i)は不定であることになります。
(1) 方程式(ii)に解が存在しないので
は存在せず、 
･･･④④にもかかわらず、連立方程式(i)：
が解をもつので、⑤と⑥は同一の直線を表す方程式になるか、または、どちらか一方のみが直線を表します。(i) ⑤が直線を表さないとき、
(ii) ⑥が直線を表さないとき、
，
(iii) ⑤と⑥が同一の直線を表すとき、
・
のとき、④より
ですが、⑤と⑥が同一の直線を表すために、 ・
のとき、⑤と⑥が同一の直線を表すために、
また、
，
を満たす実数kが存在します。よって、
(2) (1)より、k，hを実数として、
とおけます。
のときには、連立方程式を作ることができないので、k，hのどちらか一方は0ではありません。
連立方程式(i)は、 このとき、(i)は、
(⑦が直線を表さない)，
(⑧が直線を表さない)の場合も含めて、 を満たす
を解にもちます。
連立方程式(ii)は、 これが解をもたないということは、⑨のあらわす直線と⑩の表す直線が平行で異なる直線だということです。⑨より、
ということはありえません。⑨に
をかけた式と⑩が異なる直線を表すための条件は、
よって、条件(＊)をみたす2つの連立方程式を作ることができるためのsの条件は、
......[答]
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とすると
になってしまうので
より、
，よって、
，
は、いずれも
の実数倍です。
⇔ 
⇔ 