行列と連立1次方程式　　　関連問題


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この項目は、行列、行列の積、逆行列を参照してください。
連立1次方程式：
を行列，，を用いて表すと、

この行列Aを連立方程式の係数行列と言います。
が存在するとき、つまり、であるとき、解は、
2元連立1次方程式を考えます。上記のように行列を用いて、

と表されているとき、が存在するなら、両辺に左からをかけて、

∴
これで、連立方程式の解が求められます。

例1．　
行列を用いて、

　
∴ ， ......[答]

2元連立1次方程式の場合、行列を用いるよりも、普通に1文字消去して求める方が速いかも知れませんが、100元連立1次方程式、1億元連立1次方程式といった方程式を計算機で解かせることまで考えると、2元連立1次方程式を行列で扱うことにより有用な知見が得られるのです。

，，として、が存在しないとき、つまり、のときについて考えてみます。
但し、方程式として意味をもつように、a，bは同時に0ではなく、c，dは同時に0ではないことにします。
のとき、
(i) だとすると、なので、，また、です。
このときは、連立方程式は、，となり、のときには、直線上のすべての点の座標が解となり、のときには解は存在しません。
(ii) のとき、とおくと、
∴
このときは、連立方程式は、，となり、のときには、直線上のすべての点の座標が解となり、のときには解は存在しません。

以上で、(i)ののとき、(ii)ののときには、，は同一の直線を表しており、直線上の点の座標はすべて解となります。このときには、連立方程式の解は無数にあることになり、連立方程式は「不定」であると言います。
(i)ののとき、(ii)ののときには、，は、異なる平行2直線を表しており、平行2直線は交点を持たないので、連立方程式の解は存在しません。このときには、連立方程式は「不能」であると言います。

例2．連立方程式： の解が、実数aの値によってどのように変わるかを調べる。
[解答]　係数行列は、

よって、，即ち、 かつ のときには、ただ1組の解をもつ。
のときには、連立方程式は、ともに、となり、直線：上のすべての点の座標が解となり、解は無数にある。
のときには、連立方程式は、，となり、異なる平行2直線を表すので、解は存在しない。

例3．連立方程式： が、以外にも解を持つようにkの値を定める。
[解答]　，とすると、連立方程式は、　･･･①　と書けます。
を左辺に移項して、 (Eは2次の単位行列)と見ると、
　･･･②
ここで、が逆行列をもつとすると、②の左からかけて、

∴
これでは、連立方程式の解が、だけになってしまいます。従って、は存在しません。つまり、です。
∴
∴ ......[答]

3元以上の連立1次方程式については、基本変形を参照してください。


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