行列と連立1次方程式 関連問題
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この項目は、行列、行列の積、逆行列を参照してください。
連立1次方程式:
を行列
,
,
を用いて表すと、

この行列Aを連立方程式の係数行列と言います。
が存在するとき、つまり、
であるとき、解は、
2元連立1次方程式を考えます。上記のように行列を用いて、

と表されているとき、
が存在するなら、両辺に左から
をかけて、

∴ 
これで、連立方程式の解が求められます。
例1. 
行列を用いて、


∴
,
......[答]
2元連立1次方程式の場合、行列を用いるよりも、普通に1文字消去して求める方が速いかも知れませんが、100元連立1次方程式、1億元連立1次方程式といった方程式を計算機で解かせることまで考えると、2元連立1次方程式を行列で扱うことにより有用な知見が得られるのです。
,
,
として、
が存在しないとき、つまり、
のときについて考えてみます。
但し、方程式として意味をもつように、a,bは同時に0ではなく、c,dは同時に0ではないことにします。
のとき、
(i)
だとすると、
なので、
,また、
です。
このときは、連立方程式は、
,
となり、
のときには、直線
上のすべての点の座標が解となり、
のときには解は存在しません。
(ii)
のとき、
とおくと、
∴ 
このときは、連立方程式は、
,
となり、
のときには、直線
上のすべての点の座標が解となり、
のときには解は存在しません。
以上で、(i)の
のとき、(ii)の
のときには、
,
は同一の直線を表しており、直線上の点の座標はすべて解となります。このときには、連立方程式の解は無数にあることになり、連立方程式は「不定」であると言います。
(i)の
のとき、(ii)の
のときには、
,
は、異なる平行2直線を表しており、平行2直線は交点を持たないので、連立方程式の解は存在しません。このときには、連立方程式は「不能」であると言います。
例2.連立方程式:
の解が、実数aの値によってどのように変わるかを調べる。
[解答] 係数行列は、

よって、
,即ち、
かつ
のときには、ただ1組の解をもつ。
のときには、連立方程式は、ともに、
となり、直線:
上のすべての点の座標が解となり、解は無数にある。
のときには、連立方程式は、
,
となり、異なる平行2直線を表すので、解は存在しない。
例3.連立方程式:
が、
以外にも解を持つようにkの値を定める。
[解答]
,
とすると、連立方程式は、
・・・@ と書けます。
を左辺に移項して、
(Eは2次の単位行列)と見ると、
・・・A
ここで、
が逆行列
をもつとすると、Aの左からかけて、

∴ 
これでは、連立方程式の解が、
だけになってしまいます。従って、
は存在しません。つまり、
です。
∴ 
∴
......[答]
3元以上の連立1次方程式については、基本変形を参照してください。
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