連立方程式：
を解くことを考えます。①～③を行列を用いて書くと、
･･･④
，
，
として、
･･･⑤まず、
･･･④，，として、 ･･･⑤
＋②より、
･･･⑥
から
に入れ替えた行列
として、
を解けばよい、ということを意味しています。
を作る方法を考えてみます。Aの第1行と第3行には影響を与えず、第2行については、Aの第1行の
倍をAの第2行に加え合わせたものが来るようにすればよいので、
という行列を考え、これをAの左からかけてやると、
を
成分、②にかける数1を
成分、③にかける数0を
成分とし、行列の第1行は①そのままにするのであれば
，行列の第3行は③そのままにするのであれば
としたものを
として、もとの行列Aにかけてやればよいのです。④右辺についても、
･･･⑦
の第3行を
から
に入れ替えた行列
として、
を解けばよい、ということになります。
から
を作る行列は、先ほどと同じように考えて、第1行は
，第2行は
，第3行は
とした行列を
とすれば、
となります。右辺についても、
･･･⑧
の第1行と第2行を変えないで、第3行に第2行を加えたものが入るので、
，
として、
，
，
として、
，
，両辺を16で割って、
･･･⑨
，
，
，
，
，
，
倍を加えると、
，
，
，
，
，
，
に上からzの解、yの解、xの解、と並んでしまうので、第2行を変えないで、第1行と第3行を入れ替えることにします。このためには、
という行列を
に左からかけます。
(
が第3行を第1行に移し、第1行を第3行に移しているのをよく理解してください)
，即ち、
となるので、きれいに、
，
，
という解の形が出てきます。
，
，･･･，
を順次かけて、最終的に、
(Eは単位行列)
が連立方程式の解になっているのです。
となるようにすれば、
が連立方程式の解になる、ということです。
は、Aの逆行列になっています。
～
は3つのタイプに分類できます。
，
，
，
，
，
がこのタイプです。
，
がこのタイプです。
がこのタイプです。
を求めていたのです。
という形の行列に基本変形を施し、最終的に
という形が得られるとすると、このMが
になります。
では、以下のようになります。右の方から順々に行列の成分を0にしていくように変形するのがコツです。
(第2行に第1行の
倍を加えた)
(第3行に第1行の3倍を加えた)
(第3行に第2行を加えた)
(第3行に
をかけた)
(第2行に第3行の6倍を加えた)
(第2行を16で割った)
(第1行に第3行の
倍を加えた)
(第1行に第2行の3倍を加えた)
(第1行と第3行を入れ替えた)
に上記と同じような操作を行い、最終的に
という形になれば、この
が連立方程式
の解を与えます。