逆行列 関連問題
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この項目では、行列、行列の積を参照してください。
正方行列Aに対して、
(E：単位行列)をみたす行列Bを、Aの逆行列と言い、
(A-inverseと読みます)と書く。
即ち、
2次の正方行列
に対し、
をAの行列式と言う。行列式は、
，
のようにも表す。
Aは、
のときに、逆行列
をもち、
(＊)
のときには、行列Aは、逆行列
をもたない。
正方行列Aが逆行列をもつときは、1つしか逆行列をもちません。仮に、Aの逆行列がB，Cの2つあったとする(
)と、
(
)ですが、左から
をかけると、
∴ 
となって矛盾を生じます。
(＊)は、行列の積を計算してみると、
よって、
です。
n次(
)の正方行列の場合の行列式の公式は複雑です。少なくとも大学入試では不要です。
注．実は、クラメールの公式と呼ばれる公式があるのですが、基本変形による方が遙かに簡単です。
行列Aが逆行列をもつ、つまり、
のとき、行列Aを正則と言います。
が逆行列をもつとき、2個のベクトル
，
は1次独立です。
一般に、n次正方行列Aが逆行列をもつときには、行列Aを列ベクトルが横に並んだものと見て、
とすると、
，
，･･･，
は1次独立です。
正方行列Aについて、
より、
です。
例．(1) 
は、
より、逆行列をもちます。
(2) 
は、
より、逆行列をもちません。
より、行列内の2個の列ベクトルは1次独立ではありません。
(3) 
は、
より、逆行列をもちます。
n次正方行列A，Bがともに逆行列をもつとき、
より、
です。
，
として、
従って、A，Bのいずれかが逆行列を持たなければ(
または
)、
も逆行列を持ちません(
)。
(3次以上の正方行列の逆行列について、どうしても知りたい人は、逆行列(その2)へ)
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