ここでは、
の場合のの場合のn次正方行列の逆行列を考えます。大学入試には、ほとんど無関係です。どうしても、3次以上の行列の逆行列がどうなるか知りたい、という人のための項目です。
通りあります。この集合を
とします。例えば、
，
，
です(集合の要素の数を参照)。
の要素の中で、
は、
から3と4を1回入れ替えるだけで並べ替えが完了します。
は、
から3と4を入れ替えて、さらに、2と4を入れ替えて並べ替えが完了します。
の要素の中で、1，2，･･･，nのn個の数字を小さい順に並べた順列から出発して、2個の数字の偶数回の入れ替えで並べ替えが完了する順列を偶順列と呼ぶことにします。また、2個の数字の奇数回の入れ替えで並べ替えが完了する順列を奇順列と呼ぶことにします。
では、
は奇順列、
は偶順列です。
の要素
に対して、
，
，
となるすべての2数i，jの組について
をかけ合わせたものを差積と言います。
個の項の積になります。
の要素
に対して、差積は、
です。
の要素
に対して、差積は、
です(
と比べると、
と
が入れ替わっている)。
です。
の要素
に対して、差積は、
です(
と比べると、
と
が入れ替わっている)。
です。
の要素
に対する差積を
として、
の要素で奇順列となるものは差積は
となり、偶順列となるものでは差積は
に一致します。
という記号を、次のように定義します。
の要素σが偶順列なら
，σが奇順列なら
では、
，
です。
では、
，
，
，
，
，
となります。
成分を
とすると、行列Aの行列式
は以下のように定義されます。
(＊)
の要素σの順列が
だとします。
の要素
であれば、
，
，
，
です。
のすべての要素について加え合わせる、という意味です。
のようにも表しますが、絶対値と間違わないようにしてください。行列式は、
ということもあり得ます。
です。なぜなら、行列式の定義(＊)において、
の要素すべてにわたって足すときに、
以外の項はすべて0だからです。同様に、
が含まれて、すべての項が0になるからです。
がc倍されるからです。
の成分は元の行列の成分の行番号と列番号を入れ替えたもので、行列式は、
のようになりますが、σが行列Aで偶順列なら転置行列でも偶順列、行列Aで奇順列なら転置行列でも奇順列なので、転置行列の行列式が、元の行列の行列式に一致することが証明できます。つまり、
という形をしている場合、行列式の定義(＊)より、
