京大理系数学'03年前期[1]
正の数からなる数列
が次の条件(i)，(ii)をみたすとき、
を求めよ。
(i) 
(ii) 
(
)
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解答 (ii)より、
∴ 
･･･①
このタイプの漸化式には便利な技巧があります。技巧を知らなければ、
と代入して、
，
，
，･･･を求め、一般項の形を予測して、数学的帰納法で証明することになります。これでも試験会場で充分に実用的ですが、もっと、即決する解法があります。
①の左辺は、分母分子に第n項と第
項が入っている形をしています。右辺はちょっと違って、このままでは、
と
です。左辺と右辺でつじつまが合わない形をしています。ここで、左辺と右辺でつじつまが合うようにできないかを考えます。どうするとつじつまが合うかと言うと、右辺も、分母分子に何らかの数列の第n項と第
項が分かれて入るような形にすればよいのです。
このために、①の右辺の分母分子にnをかけます。
分子の
を第
項だとすると、分母の
は第n項です。整理して、第n項どうし、第
項どうしでまとめます。
･･･②
の各項はすべて同じ値だと言うことです。②は
で成り立つので、nを2からnまで変えてゆけば、
∴ 
(
でも成立します)
これで一般項が求まってしまいました。
ここで注意したいのは、nをかけることが技巧ではないということです。「左辺と右辺とでつじつまを合わせる」という発想が技巧です。
従って、
......[答]
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