京大理系数学'03年前期[3]
四面体OABCは次の2つの条件
(ii) 4つの面の面積がすべて等しい
をみたしている。このとき、この四面体は正四面体であることを示せ。
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解答 (i)より、
･･･① (空間ベクトルを参照)
などより、
∴ 
･･･②
(ii)より、各面の三角形の面積Sについて、
･･･③
②より、
∴ 
∴ 
･･･④
①において、
などより、
･･･⑤
④と同様にして、⑤より、
･･･⑥
また、
･･･⑦
④，⑥，⑦より、
これより四面体OABCの各面はすべて正三角形であって、四面体OABCは正四面体です。
上記では、一々各辺の長さを確かめましたが、問題文に与えられている状況は、点O，点A，点B，点Cについて対等です。従って、ある四面体で成立する事実があれば、OをAに，AをBに、BをCに、CをOに名前を付け替えても全く同じことが成立します。この問題でも、④を確認すれば、あとは、「各頂点の名前を付け替えることにより、
が成り立つ」とすることができます。
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