京大理系数学'06年前期[2]
点Oを原点とする座標空間の3点をA
，B
，P
とする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。
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解答 空間ベクトルの問題です。
線分AB上の点(両端を含めて)を示す位置ベクトルは、sを
を満たす実数として、
･･･①
線分OP上の点(両端を含めて)を示す位置ベクトルは、kを
を満たす実数として、
･･･②
線分OPと線分ABが交点を持つとして、交点は①，②いずれの形にも書けるので、
∴ 
③＋⑤より、
･･･⑥
④＋⑤より、
･･･⑦
⑦×4－⑥×5より、
∴ 
⑥に代入して、
∴ 
⑤より、
∴ 
のとき、③，④，⑤，
，
を満たすs，kが存在します。
よって、確かに、線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在します。
のとき、①より、交点の座標、即ち、位置ベクトルは、
よって、交点の座標は、
......[答]
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