京大理系数学'06年前期[4]
2以上の自然数nに対し、nと
がともに素数になるのは
の場合に限ることを示せ。
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解答 nが素数となるものを、
を除いて書き並べてみます。
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
こう書いてみると、
がいずれも3の倍数であることに気付きます。
を除いて、
が3の倍数になることを言えば、題意が言えることになります。
のとき、
は3の倍数であって、素数ではありません。
のとき、
は素数です。
となる素数nについて、nは3の倍数ではないので、kを整数として、
とおくと、
に限られます。
のとき、
は、3の倍数であって素数ではありません。
のとき、
は、3の倍数であって素数ではありません。
以上より、nと
がともに素数となるのは
の場合に限られます。
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