京大理系数学'07年前期甲[3]
pを3以上の素数とする。4個の整数a,b,c,dが次の3条件
,
,
を満たすとき、a,b,c,dをpを用いて表せ。
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整数の問題、という以前に、まずは、1文字消去から始めるべきでしょう。
dを消去します。
第1式より、
・・・@
より、
・・・A
,
は整数、pは素数であることから、
(i)
,
(ii)
,
のいずれかに限られます。
(i)のとき、
,
,@より、
より、左から2番目の不等号より、
これは、
に矛盾するので不適。
(ii)のとき、
,
・・・B @より、
・・・C
より、

左側の不等号より、
∴
・・・D
右側の不等号より、
∴
・・・E
D,Eより、
pは3以上の素数なので奇数です。従って、この不等式を満たす整数aは、

に限られます。
Bより、
,
Cより、
以上より、
,
,
,
......[答]
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