京大理系数学'07年前期甲[3]
pを3以上の素数とする。4個の整数a，b，c，dが次の3条件
，
，
を満たすとき、a，b，c，dをpを用いて表せ。
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整数の問題、という以前に、まずは、1文字消去から始めるべきでしょう。
dを消去します。
第1式より、
･･･①
より、
･･･②
，
は整数、pは素数であることから、
(i) 
，
(ii) 
，
のいずれかに限られます。
(i)のとき、
，
，①より、 
より、左から2番目の不等号より、
これは、
に矛盾するので不適。
(ii)のとき、
，
･･･③ ①より、
･･･④
より、
左側の不等号より、
∴ 
･･･⑤
右側の不等号より、
∴ 
･･･⑥
⑤，⑥より、
pは3以上の素数なので奇数です。従って、この不等式を満たす整数aは、
に限られます。
③より、
，
④より、
以上より、
，
，
，
......[答]
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