京大理系数学'08年甲[4]
定数aは実数であるとする。方程式
を満たす実数xはいくつあるか。aの値によって分類せよ。
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解答 定数aを分離する、つまり、「xの式＝aの式」の形に持ち込むのはちょっと辛いので、与えられた形のまま考えます。
，
を整式として、2つの方程式
が共通解pを持つとき、A，Bを定数、または整式として、方程式：
も、pを解として持ちます。なぜなら、
より、
･･･(＊)
例えば、
，
として、
･･･①
･･･②
①×ax－②として(上記(＊)で、
，
)、
の解、つまり、
が共通解になります。
この技巧を使って考えます。
2次方程式④の判別式：
2次方程式⑤の判別式：
2次方程式④は、
，
のときに、相異なる2実数解、
のときに実数の重解をもち、
のときには実数解を持ちません(2次方程式の一般論を参照)。
2次方程式⑤は、aの値にかかわらず、相異なる2実数解を持ちます。
，
の場合に、③，⑤に共通解があるかどうか調べます。
④×3－⑤として、
∴ 
④に代入すると、
(i) 
のとき、 ④：
⑤：
よって、③は、
の3実数解を持ちます。 (ii) 
のとき、 ④：
⑤：
よって、③は、
の3実数解を持ちます。 (i)，(ii)以外のaについては、④，⑤が共通解を持つことはありません。
以上より、③を満たす実数xの個数は、
・
のとき、3個 ・
のとき、2個 ......[答]
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･･･③
･･･④ または、
･･･⑤
(
です)
，
，
，
のとき、4個