京大文系数学'09年[2]
整式と実数Cが
をみたすとき、このとCを求めよ。


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解答　定積分の上端、または下端に変数xを含むときには、
　(aは定数)
を利用します(定積分と微分を参照)。また、上端と下端が等しくさせて、定積分が0となる場合を調べるようにします。

　･･･①

①左辺第2項の定積分を変形すると、


∴
が整式なので、も整式であり、この右辺の形から2次の整式です。
定積分は定数なので、a，b，cを定数として、
　･･･②
　･･･③
　･･･④
とおくと、
ここで、とするととなるので、
　･･･⑤
両辺をxで微分すると、より、
　･･･⑥
②より、⑤を用いて、
∴ 　･･･⑦
③より、
∴
⑦に代入することにより、
∴ ，
⑥より、
......[答]
④とより、
......[答]


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