京大理系数学'10年甲[5]
aを正の実数とする。座標平面において曲線
(
)とx軸とで囲まれた図形の面積をSとし、曲線
(
)，曲線
(
)およびx軸で囲まれた図形の面積をTとする。このときS：T = 3：1となるようなaの値を求めよ。
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解答 積分による面積計算と三角関数の融合問題です。
曲線
(
)とx軸とで囲まれた図形(右図黄色着色部)の面積Sは、
曲線
と曲線
の共有点は、
，
を連立すると、
は解にならないので、
においては、
で割ると、
これを満たすxは
の範囲にただ1つ存在するので、それをαとすると、
このとき、
また、
において、
は単調減少、
は単調増加なので、
では
，
では
これに注意して、曲線
(
)，曲線
(
)およびx軸で囲まれた図形(右図斜線部)の面積Tは、
aの値が問われているので、②を利用して
，
をaを使って表します。
S：T = 3：1と①より、
のもとで③を2乗すると、
∴ 
......[答] (④を満たしています)
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