京大理系数学'11年[6]
空間内に四面体ABCDを考える。このとき、4つの頂点A，B，C，Dを同時に通る球面が存在することを示せ。
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解答 京大でよく見かける「......が存在することを示せ」という問題です。考えにくい問題であることが多いのですが、どういう手順で......が求められるか、ということを説明すれば答案を書くことができます。......を求める点順が説明できれば、......は必ず存在するからです。
4つの頂点A，B，C，Dを同時に通る球面が存在するとして、その中心をOとすれば、
OA＝OB＝OC＝OD
となります。従って、4点A，B，C，Dから等距離の点が存在することを言えば、4つの頂点A，B，C，Dを同時に通る球面が存在することが言えます。
まず、三角形ABCを含む平面内で、
OA＝OB＝OC
を満たす点は、三角形ABCの外心Pです。任意の三角形ABCに対して、外心は必ず存在します。
空間内で、
OA＝OB＝OC
を満たす点Oは、三角形ABCの外心Pを通り、三角形ABCに垂直な直線l上の点です。
ここで、線分ADの垂直二等分面(ADの中点を通りADに垂直な平面)αを考えます。線分ADの垂直二等分面αが三角形ABCに垂直になることはありません。なぜなら、αが三角形ABCに垂直なとき、点Dは三角形ABCを含む平面上にあって、このとき、四面体ABCDができないからです。
従って、平面αが直線lに平行になることはなく、平面αは直線lと交点をもちます。この交点を改めてOとすると、Oは、平面α上にあるので、
OA＝OD
を満たします。このとき、
OA＝OB＝OC＝OD
となり、4点A，B，C，Dから等距離の点Oが存在して、4つの頂点A，B，C，Dを同時に通る球面が存在します。
頂点Aを原点とするような座標系をとり、B，C，Dの位置ベクトルを
，
，
とします。また、4つの頂点A，B，C，Dを同時に通る球面が存在するとして、その中心の位置ベクトルを
とします。 より、
よって、
･･･(＊)の解であるということであって、連立方程式(＊)が解を持てば、四面体ABCDに対して
が存在し、4つの頂点A，B，C，Dを同時に通る球面が存在することになります。(＊)は、行列
が逆行列
を持てば、(＊)の右から
をかけることにより、 として解を求めることができます。ここでは四面体ABCDができているので、
，
，
は1次独立で、
で
が存在するので、(＊)は必ず解を持ちます。
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として、
が、3元連立1次方程式