京大理系数学'12年[5]
次の命題(p)，(q)のそれぞれについて、正しいかどうか答えよ。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ。
(p) 正n角形の頂点から3点を選んで内角の1つが
である三角形を作ることができるならば、nは3の倍数である。 (q) △ABCと△ABDにおいて、
かつ
ならば、
である。
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解答 受験生にとっては真剣勝負の入学試験で、遊び心のある問題だなどと言ったら不謹慎かも知れませんが、どうか入学試験を楽しんでいってください、とでも言いたそうな出題者の優しい笑顔が見える気がします。無理に正解しよう、うまく切り抜けようと思わないで、いろいろといじって遊んでみることが、むしろ正解につながります。
なお、証明の技巧を参照してください。
(p) 正三角形の内角は
なので、内角の1つが
である三角形を作ることができます。 
(q) △ABCと△ABDとで共有する辺ABを弦にもつ円を考えると、
，
は、弦ABの上に立つ円周角として考えることができます。円の半径が大きくなると弦ABの上に立つ円周角は小さくなります。
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である三角形はできません。
，
，
です。隣接2頂点と1つ離れた頂点とで三角形を作ると、内角は、
，
，
です。内角の1つが
である三角形はできません。
である三角形を作ることができます。
である三角形はできません。
である三角形を作ることができます。
角形では、ある頂点から
個の頂点をおいて次の頂点を選び、そこから
個の頂点をおいて次の頂点を選んで三角形を作れば(この3頂点で正
角形の外接円の円周を3つの等しい円弧に分割できます)正三角形になるので、内角の1つが
である三角形を作ることができます。
になるということは、この内角を見込む外接円の円弧は円周の
になる、ということです。
です。kを自然数として、
とすると
でnが3の倍数となって矛盾するので、円周の
をk個集めても円周の
になることはありません。つまり、正n角形のどの2頂点を選んでも、この2頂点を両端とする円弧は円周の
にはなり得ないので、内角の1つが
である正三角形はできません。
，
を考え、
の半径が
の半径よりも大きいとします。また、2円は異なる2点A，Bで交わるものとします。
であるのに、
かつ
であるような2点C，Dが見つかれば、題意は否定されます。
なので、Cが
上、Dが
上に来るような状況を考えます。
となるようにとり、ADを半径とする円
を描きます。Bは円
の内側に来ます。ここで、Bを中心として、BDを半径とする円
を描きます。Bは円
の内側に来ます。
はBを通るので、円
上の点で、円
の内側にあって、かつ、円
の内側にある点が存在します。この点をCとすれば、”
かつ
”を満たします。ですが、Cは
上の点、Dは
上の点なので
です。