京都大学理系2012年数学入試問題
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[1] 次の各問いに答えよ。
(1) aが正の実数のとき
を求めよ。
(2) 定積分
の値を求めよ。
[解答へ]
[2] 正四面体OABCにおいて、点P，Q，Rをそれぞれ辺OA，OB，OC上にとる。ただし、P，Q，Rは四面体OABCの頂点とは異なるとする。△PQRが正三角形ならば、3辺PQ，QR，RPはそれぞれ3辺AB，BC，CAに平行であることを証明せよ。
[解答へ]
[3] 実数x，yが条件
を満たしながら動くとき
がとりうる値の範囲を求めよ。
[解答へ]
[4](1) 
が無理数であることを証明せよ。
(2) 
は有理数を係数とするxの多項式で、
を満たしているとする。このとき
は
で割り切れることを証明せよ。 [解答へ]
[5] 次の命題(p)，(q)のそれぞれについて、正しいかどうか答えよ。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ。
(p) 正n角形の頂点から3点を選んで内角の1つが
である三角形を作ることができるならば、nは3の倍数である。 (q) △ABCと△ABDにおいて、
かつ
ならば、
である。 [解答へ]
[6] さいころをn回投げて出た目を順に
，
，･･･，
とする。さらに、
によって
，
，･･･，
を定める。
となる確率
を求めよ。
[解答へ]
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