京大理系数学'12年[6]
さいころをn回投げて出た目を順に
，
，･･･，
とする。さらに、
によって
，
，･･･，
を定める。
となる確率
を求めよ。
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解答 問題文を見てギョッとしますが、問題文の不等式が成り立つ事象の余事象を考え、それを2つの場合に分けて考えると、問題のカラクリが見えてきます。
のとき、
となるのは、
より、
，
なので、
のときだけです。
従って、
･･･①
ここで(＊)を使って
のときの状況から
のときの状況を考えることになります。
(＊＊)で
とした不等式と、
とした不等式を考え、
の範囲と
の範囲を調べることになります。そこで、
の範囲について、手がかりを得ておくことにします。
はさいころの目なので1から6のいずれかです。(＊)より、
はさいころの目よりも僅かに大きな数で、
となりそうです。
nが自然数のとき、
であることが予想し、これを数学的帰納法で示しておくことにします。
のとき、
です。
･･･② です。
のとき、
より、
が条件(＊)を満たすことはありません。つまり、
を満たすのは、
のときか、
のときだけです。
さいころをn回投げた状況から、
回投げた状況を考えます。
n回投げたとき、(＊＊)が満たされているときと、満たされていないときに分けて調べます。
(1) さいころをn回投げたとき、(＊＊)が満たされていたとします。こうなる確率は
です。このとき、 
，
ですが、
，
なので、 
･･･③
(確率
)のとき、③は、となり、条件(＊＊)は必ず満たされます。 ･･･④
(確率
)のとき、③は、 となり、条件(＊＊)は必ず満たされます。 ･･･⑤
(2) さいころをn回投げたとき、(＊＊)が満たされていないとします。こうなる確率は
です。このとき、 
または
ですが、
の範囲が2つに分かれているので、別々に考えます。 (i) 
のとき、②を考慮して、
，よって、 
･･･⑥
(確率
)のとき、⑥は、となり、
より、条件(＊＊)は必ず満たされます。 ･･･⑦
(確率
)のとき、⑥は、 となり、条件(＊＊)は満たされません。
(ii) 
のとき、②を考慮して、
，よって、 
･･･⑧
(確率
)のとき、⑧は、となり、条件(＊＊)は満たされません。
(確率
)のとき、⑧は、 となり、条件(＊＊)は必ず満たされます。 ･･･⑨
上記で④，⑤が起こる確率は
，⑦が起こる確率は、
となる確率を
として
です。⑨が起こる確率は、
となる確率を
として
です。
上記の検討より、さいころを
回投げたとき、
となる場合は、④，⑤，⑦，⑨のいずれかに限られます。従って、その確率
は、
･･･⑩
は、
または
となる事象の確率ですが、この事象は
となる事象の余事象です。よって、
これより、⑩は、
･･･⑪
として、
･･･⑫ ∴ 
数列
は、①より、初項：
，公比：
の等比数列です。
よって、
∴ 
......[答]
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，
(
)
，
(
) ･･･(＊)
･･･(＊＊)
のとき、
と仮定すると、
，
，
より、
です。
