京大理系数学'12年[2]
正四面体OABCにおいて、点P，Q，Rをそれぞれ辺OA，OB，OC上にとる。ただし、P，Q，Rは四面体OABCの頂点とは異なるとする。△PQRが正三角形ならば、3辺PQ，QR，RPはそれぞれ3辺AB，BC，CAに平行であることを証明せよ。
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解答 空間ベクトルを用いて解決します。
OABCが正四面体であることから、
，
，
として、
，
，
とおくことができます。
より、
かつ 
かつ 
”
または 
” かつ ”
または 
”
これより、以下の3通りの場合があり得ます。
(i) 
のとき、 より、3辺PQ，QR，RPはそれぞれ3辺AB，BC，CAに平行です。
(ii) 
かつ 
のとき、 
となり、OとQが一致するので題意に反します。(iii) 
かつ 
のとき、 
となり、OとRが一致するので題意に反します。
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(
とおきます)，
･･･① (内積を参照)
，
，