京大理系数学'26年前期[3]
nは正の整数とする。整数係数の多項式
のすべての係数が
で割り切れるような正の整数mのうち、最大のものは
であることを示せ。
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解答 与式を因数分解してしまえば、数学的帰納法の利用が見えてきます。
まず、nに数値代入して確かめてみます。
のとき、多項式は、
多項式の係数は、0か4なので、
で割り切れて
では割り切れないので、すべての係数が
で割り切れるような正の整数mのうち、最大のものは
です。
のとき、多項式は、
多項式の係数は、
で割り切れて、
で割り切れないものを含むので、すべての係数が
で割り切れるような正の整数mのうち、最大のものは
です。
ところで、
の指数の
と、
の指数の
は、ともに偶数なので、
は因数分解できます。
･･･①
は、
のとき、
のとき、
は、
のとき、
のとき、
因数分解①は、
のとき、
のとき、
となっています。
これで、係数が
で割り切れるような正の整数mのうち、最大のものが、
となることが分かります。
因数分解①のうち、
の部分の係数は、
，
の場合を見ると、すべて偶数になりそうです。そこで、これを確かめます。
まず、①の中に出てくる
について考えます。
，または、
のときには、
です。
のときには、2項係数の公式を用いて、
は自然数なので、
はkで割り切れますが、
においては、
であり、
を既約分数になるまで約分するとき、分子に必ず2が残ります。
は自然数なので、
を素因数分解したときの2の指数
は、kを素因数分解したときの2の指数
よりも大きくなります。つまり、
において、
は2の倍数です。同様に、
のとき、
において、
は2の倍数です。
従って、
の部分は、
のとき、
となり、各項の係数は、すべて2の倍数であって、
の倍数でない項(定数項と
の係数は2)があります。 ･･･③
因数分解①の
の部分は、
であって、
のnを1だけ小さくしたものになっています。これで、数学的帰納法の枠組みに乗ります。
題意を数学的帰納法により示します。
のとき、②より、題意は成立します。
(
)のとき題意が成立すると仮定します。仮定より、
(＊) 整数係数の多項式
のすべての係数が
で割り切れるような正の整数mのうち、最大のものは
です。 
のとき、整数係数の多項式
は、
と因数分解され、このうち、
は、③と
より、各項の係数は、すべて2の倍数であって、
の倍数でない項があります。
は仮定により、すべての係数が
で割り切れるような正の整数mのうち、最大のものは
です。
よって、
は、すべての係数が
で割り切れるような正の整数mのうち、最大のものは
です。
のときにも、(＊)が成立します。よって、数学的帰納法により、すべての正整数nについて題意が成立します。
以上より、nを正の整数とするとき、整数係数の多項式
のすべての係数が
で割り切れるような正の整数mのうち、最大のものは
であることが示されました。
注意．強引に、2項係数そのものに着目する(こういうアプローチをする問題もあります)と本問ではうまく行きません。
多項式
の中央のところの係数だけを見ても、 などとなり、規則性も見えますが手に負えなくなります。
の利用も、 となりきれいな形をしていますが、
となってしまうと、厳しいことになります。
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のとき
，
のとき
･･･②
，
，
，
