軌跡　　　関連問題


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ある条件Cを満たすように点Pが移動するとき、点Pが移動することによってできる図形を軌跡という。軌跡は、条件Cを満たす点Pの集合ということもできる。
例1．異なる2点A，Bから等距離にある点Pの軌跡は、ABの垂直二等分線。

例2．定点Cから一定の距離rにある点Pの軌跡は、Cを中心とする半径rの円。

例3．異なる2点A，Bを見込む角が直角である点Pの軌跡は、ABを直径とする円。

例4．異なる2点A，Bまでの距離の比がPA：PB = m：n ()で一定である点Pの軌跡は、ABをm：nに内分する点をC，m：nに外分する点をDとして、CDを直径とする円(アポロニウスの円と呼ばれています。なお、座標平面における内分・外分を参照)。

例5．異なる2定点，からの距離の和が一定である点の軌跡は、，を焦点とする楕円。

例6．異なる2定点，からの距離の差が一定である点の軌跡は、，を焦点とする双曲線。

例7．定点Fまでの距離と直線lまでの距離が等しい点の軌跡は、Fを焦点、直線lを準線とする放物線。

動点Pが満たす条件式と、点P，点Qの関係が指定されていて、Qの軌跡を求める場合は、X，Yをそれぞれを用いて表しておき、のX，Yのところに代入すれば、x，yの関係式が得られます。が軌跡の方程式です。
(はX，Yの関係式、はx，yの関係式という意味です)

x，yが媒介変数を用いて表されている場合には、その媒介変数を消去すれば、x，yの関係式が得られます。

軌跡を求める問題で、軌跡の方程式が得られたとして、を満たす点のすべてが題意を満たすかどうかをチェックする必要があります(与えられた条件と求められた軌跡が必要十分条件であることを確認する必要があるのです。なお、条件・命題を参照)。満たせない点がある場合には、除外点であることを解答に付記すること。

例8．円：上の点Pと点Aを結ぶ線分を2：1に内分する点Qの軌跡(座標平面における内分・外分を参照)。
[解答]　P，Qの座標を，として、，
これより、， ･･･①
X，Yは、を満たすから、①を代入すると、

∴ Qの軌跡は、円： ......[答] (図示すると右図赤線)

例9．直線： ･･･①，直線： ･･･② の交点Pの軌跡
[解答]　両直線の式は分母を払うと、
･･･③
･･･④
③＋④×m より、 ･･･⑤，③×m－④ より、 ･･･⑥
④より、と表されるから、これを⑥に代入するとmを消去することができます。

分母を払って整理すると、
のとき⑥よりとなるが、このとき直線①が存在しません。
よって、であって、 ･･･⑦
また、⑥より、より、です。
⑦式でとすると、
()より、点は軌跡に含まれません。
以上より、Pの軌跡は、円： (ただし、点を除く) ......[答] (図示すると右図赤線、白マルを除く)
[別解1]　①はAを通る傾きの直線，②はBを通る傾きmの直線
両直線の傾きの積はだから、両直線は直交します(2直線の平行・垂直を参照)。だから、点Pの軌跡は、ABを直径とする円になります。ただし、①は傾き0の直線を表さず、②の傾きmを0とすると、直線①が存在しなくなるから、傾き0の直線とx軸に垂直な直線との交点は除かれます。
[別解2]　①より、 ･･･⑧，②より、 ･･･⑨
⑧×－⑨×としてmを消去すると、
∴ ，軌跡の方程式を求めるだけならこれが一番早い。
除外点の考察は別解1のように行います。


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