三角形の垂心 関連問題
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三角形の各頂点から対辺に下ろした3本の垂線は1点で交わる。この点を垂心と言う。
証明 三角形ABCの頂点A，Bから対辺BC，CAに垂線AD，BEを下ろし、交点をHとします。
また、CHの延長とABとの交点をFとします。
四角形CEHDは、
より、対向する内角が補角をなすので、円に内接する四角形です。
同一弦DHの上に立つ円周角は等しいので、
･･･①
また、点D，点Eは、ともに、ABを直径とする円周上の点です。
同一弦BDの上に立つ円周角は等しいので、(
)
(
) ･･･②
①，②より、
また、
(対頂角)
これより、
よって、
従って、三角形の各頂点から対辺に下ろした3本の垂線は1点で交わります。
(証明終)
上記を、平面ベクトルを使って示すことができます。三角形ABCの頂点A，Bから対辺BC，CAに垂線を下ろし、交点をHとします
より、
(内積を参照)
∴ 
･･･③
より、
∴ 
･･･④
③＋④より、
∴ 
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