2次曲線に関する問題(その5)
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離心率e (
)，焦点と準線の距離がh，焦点を極とする双曲線の極方程式は、
です。
とすると、
(
)となりますが、このとき、曲線上の点Cは、極(焦点)から、始線と反対側に距離
のところに来ます。
とすると、
となりますが、このとき、曲線上の点Dは、極から、始線と反対側に距離
のところに来ます。
なので、左から、C，D，Oの順に一直線上に並びます。
CDの中点M(双曲線の中心)は、DからC側に、距離
のところにあります。
Mと焦点との距離を
とすると、
より、
Mと準線との距離は、
(
)
以上では、Oを双曲線の焦点としていましたが、改めてOをxy座標系の原点(双曲線の中心)にとると、双曲線：
は、右図のようになっています。
2次曲線に関する問題(その4)で、楕円の問題を極座標で考える例を示しました。
ここでは、さらに、一般の2次曲線に関する問題について、極座標で考える例を取り上げます。
例1．極Oを焦点とする、極方程式：
(離心率：
，焦点Oと準線との距離：
)で与えられる2次曲線と、焦点Oを通る直線との交点をA，Bとするとき、
を証明する。
[証明] Aの偏角をθ とすると、Bの偏角は
で与えられます。
，
よって、
(証明終)
例2．極Oを焦点とする、極方程式：
で与えられる2次曲線と、焦点Oを通る直線との交点をA，B，この直線と焦点Oで直交する直線との交点をC，Dとするとき、
を証明する。
[証明] 
，
，
よって、
(証明終)
極方程式：
によって、楕円(
)と双曲線(
)と放物線(
)を、焦点を極とする極座標でまとめて扱うことができますが、標準形で表された楕円と双曲線については、中心(xy座標系の原点O)を極とする極方程式も考えられます。
楕円：
(
)では、
，
を代入すると、
分母、分子を
で割り、
(cは焦点の座標)，
(eは離心率、2次曲線に関する問題(その4)を参照)を用いると、
双曲線：
では、
，
を代入すると、
分母、分子を
で割り、
(cは焦点の座標)，
(eは離心率、このページの上記を参照)を用いると、
中心を極とする極座標における極方程式は、
楕円では、
双曲線では、
となります。
例3．中心をOとする、楕円：
(
)または、双曲線：
(
)上に2点A，Bをとり、
とすると、
となることを証明する。
[証明] 楕円の場合、中心を極とする楕円の極方程式：
を用いると、
より、
，
となる双曲線の場合、同様にして、
より、
(証明終)
注．
となる双曲線の場合、
となるような2点A，Bを双曲線上に取ることができません。
例4．中心をOとする、楕円：
(
)上に3点A，B，Cをとり、
とすると、
となることを証明する。
[証明] 中心を極とする楕円の極方程式：
を用いると、
より、
(証明終)
注．楕円上にn個の点
を、
(
)のようにとるとき、
が言えます。
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