2次曲線に関する問題(その4)


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楕円の問題を極座標を使って考えてみます。

以下の例を、xy座標系で普通にやってみます。
例1．楕円： ()の焦点を通る直線lと楕円との交点をA，Bとし、もう一つの焦点をFとするとき、三角形FABの面積の最大値を求める。但し、
[解答]　楕円の方程式の分母を払って、
　･･･①
焦点を通る直線lは、x軸に垂直になるときを除いて、　･･･②　(楕円はx軸に関して対称なので、として十分です)
これを①に代入して、

整理すると、
　･･･③
線分ABの長さdは、③の2解を，として、

但し、直線lがx軸に垂直になるときには、楕円の方程式で、として、
このときは、　･･･④
と考えます。
③の2解の差は、③の判別式をDとして、
　(2次方程式の一般論を参照、2次方程式：の判別式をとして、2解の差は、)
ここで、
　
　
　
　
∴
よって、
④は、ここでとしたときの極限になっています。
さて、Fと直線②との距離hは、
三角形FABの面積Sは、

　
根号内を ()とおいて、
この導関数は、
・のときには、なので、は単調増加です。よって、
従って、Sの最大値は、としたとき、つまり、直線②がx軸に垂直なとき、
......[答]
・のときには、において、は極大となり、Sの最大値は、
......[答]

xy座標系で考えても何とか解けますが、同じ問題を、極座標を使って考えてみます。

例2．極方程式： (，)で与えられる楕円(極Oに焦点があり、離心率はe，準線は始線に垂直で焦点との距離はh)とその焦点を通る直線との交点をA，Bとし、極でない方の焦点をFとするとき、三角形FABの面積の最大値を求める。
[解答]　A，Bは楕円上の点なので、楕円の方程式を満たします。Aの偏角(OAとx軸のなす角)をθ (として考えれば十分です)とすると、Bの偏角はです。
，
楕円と始線との交点をC，始線の極側への延長線との交点をDとすると、
，

三角形FABの面積Sは、

　
　
　
　　･･･①
　
　　(，つまり、のときには、相加平均、相乗平均の関係が使えます。不等式の証明を参照)
　
上記の不等号で、等号が成立するのは、，つまり、のときですが、のときには、これを満たすθ が存在するので、Sの最大値は、 ......[答]
のときは、①において、とおくと、

より、 ()
よって、は、において、単調増加です。
∴
このときには、①より、Sの最大値は、 ......[答]

例2の中で、ついでに、楕円の長軸の長さを求めると、

これより、楕円： ()において、
として、

焦点のx座標を ()として、
より、

準線と楕円の中心との距離は、
()
また、
例2のOは、極(楕円の焦点)でしたが、改めて、xy座標系の原点をO (楕円の中心)にとると、楕円： ()は、右図のようになっています。


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