2次曲線に関する問題(その4)
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楕円の問題を極座標を使って考えてみます。
以下の例を、xy座標系で普通にやってみます。
例1．楕円：
(
)の焦点
を通る直線lと楕円との交点をA，Bとし、もう一つの焦点をF
とするとき、三角形FABの面積の最大値を求める。但し、
[解答] 楕円の方程式の分母を払って、
･･･①
焦点
を通る直線lは、x軸に垂直になるときを除いて、
･･･② (楕円はx軸に関して対称なので、
として十分です)
これを①に代入して、
整理すると、
･･･③
線分ABの長さdは、③の2解を
，
として、
但し、直線lがx軸に垂直になるときには、楕円の方程式で、
として、
このときは、
･･･④
と考えます。
③の2解の差は、③の判別式をDとして、
(2次方程式の一般論を参照、2次方程式：
の判別式を
として、2解の差は、
)
ここで、
∴ 
よって、
④は、ここで
としたときの極限になっています。
さて、F
と直線②との距離hは、
三角形FABの面積Sは、
根号内を
(
)とおいて、
この導関数は、
・
のときには、
なので、
は単調増加です。よって、
従って、Sの最大値は、
としたとき、つまり、直線②がx軸に垂直なとき、
......[答]
・
のときには、
において、
は極大となり、Sの最大値は、
......[答]
xy座標系で考えても何とか解けますが、同じ問題を、極座標を使って考えてみます。
例2．極方程式：
(
，
)で与えられる楕円(極Oに焦点があり、離心率はe，準線は始線に垂直で焦点との距離はh)とその焦点を通る直線との交点をA，Bとし、極でない方の焦点をFとするとき、三角形FABの面積の最大値を求める。
[解答] A，Bは楕円上の点なので、楕円の方程式を満たします。Aの偏角(OAとx軸のなす角)をθ (
として考えれば十分です)とすると、Bの偏角は
です。
，
楕円と始線との交点をC，始線の極側への延長線との交点をDとすると、
，
三角形FABの面積Sは、
･･･①
(
，つまり、
のときには、相加平均、相乗平均の関係が使えます。不等式の証明を参照)
上記の不等号で、等号が成立するのは、
，つまり、
のときですが、
のときには、これを満たすθ が存在するので、Sの最大値は、
......[答]
のときは、①において、
とおくと、
より、
(
)
よって、
は、
において、単調増加です。
∴ 
このときには、①より、Sの最大値は、
......[答]
例2の中で、ついでに、楕円の長軸の長さを求めると、
これより、楕円：
(
)において、
として、
焦点のx座標を
(
)として、
より、
準線と楕円の中心との距離は、
(
)
また、
例2のOは、極(楕円の焦点)でしたが、改めて、xy座標系の原点をO (楕円の中心)にとると、楕円：
(
)は、右図のようになっています。
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