極座標 関連問題
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平面上の点Pの位置を、原点Oからの距離
と、原点Oを端点とする半直線OXから反時計回りに半直線OPまで測った角
を指定することによって定めることができる。
rとθ の組
を点Pの極座標と言う。
また、原点Oを極、半直線OXを始線、角θ を偏角と言う。
OXに重なるようにx軸をとり，Oを通りOXと垂直な直線をy軸とし、
の方向をx軸正方向、
の方向から反時計回りに
回った方向をy軸正方向とする直交座標系上において、点Pの座標を
とすると、
，
の関係がある。
また、
，
，
(
のとき)
の関係がある。
のときは、
とする。
点Pがある曲線上の点であるとき、極座標で、点P
の位置を考えて、rとθ の関係を表した方程式を、極方程式と言う。
通常、極方程式は、
，
などの形で表す。
地球上で、船の位置や、台風の位置を考えるときに、「東経139度、北緯35度」と言うように指定します。英国グリニッジ天文台と、北極、南極を通過して、地球の表面を一周する円周をグリニッジ子午線と言いますが、139度というのは、子午線から測った角です。35度は赤道から測った角です。
物体の位置を考えるのに、必ずしも正方形のマス目を並べて、直交座標系でxがいくつyがいくつ、というように座標を指定するだけでなく、原点からの距離と角で位置を指定する、という、全く異なった見方ができます。これが、極座標です。
右図でわかるように、極座標で
であった座標を、直交座標系(xy座標系)の
に変換する場合には、
，
という公式を使います。
また、直交座標系(xy座標系)で
という座標であったものを、極座標の
に変換するときには、
，
，
という公式を使います。
(1) 極Oを中心とする半径a (
)の円の極方程式：
(2) 極Oを通り、始線と角α (
)をなす直線の極方程式：
(3) 始線と角α (
)をなし、極Oからの距離が
である直線の極方程式：
(
のとき、xy座標系でy切片が正，
のとき、xy座標系でy切片が負)
(4) 直線
(
，極Oを通り、始線と角αをなす直線)と直交し、極Oからの距離が
である直線の極方程式：
(
のとき始線と交わり、
のとき始線と交わらない)
(5) 点C
を中心とし、半径aの円の極方程式：
(6) 極Oを焦点，始線に垂直で極Oからの距離がhである直線(
)を準線とし、離心率eの2次曲線の極方程式：
(複合同順。＋のとき準線は始線と交わり、－のとき準線は始線と交わらない)
(1) 極Oを中心とする半径a (
)の円周上の点は、極Oからの距離がaで一定なので、極方程式は、
となります。
(2) 極Oを通り、始線と角α (
)をなす直線上の点の偏角θ は、極Oを除いて、αで一定です。この直線の極方程式は、
となります。
(3) 直交座標系において、
という方程式で与えられる直線の極方程式を考えます。
，
を代入すると、
･･･①
左辺において、三角関数の合成を行うと、
但し、
，
よって、
とおけば、直線の極方程式
･･･②
が得られます。
②式は、右図のように、直線②が直線
と平行で、極Oと直線②との距離が
であることを示しています。
のとき、
より、
なので、
の符号は、直線のy切片
の符号と一致します。
(4) 上記(3)の①式で正弦の合成ではなく、余弦の合成を行ってみます。
余弦の加法定理：
より、①を、
但し、
，
よって、
とおけば、直線の極方程式
･･･③
が得られます。
③式は、右図のように、直線③が直線
と垂直で、極Oと直線③との距離が
であることを示しています。
のとき、
より、
なので、
の符号は、直線のx切片
の符号と一致します。
(5) 直交座標系で、
を中心とする半径aの円の方程式は、
となります。
展開して整理すると、
中心
が極座標で
になったとすると、
，
これを代入し、
，
，
とすると、
これで、円の極方程式
が得られます。
この式は、右図のように、三角形OPCに余弦定理を適用し、
として得られる式です。
(6) 極座標で2次曲線を考える場合には、離心率を考えます。離心率が曲線上のすべての点で一定である曲線が2次曲線です。
右図において、焦点Fが極となるような極座標を考え、準線が始線と垂直で、焦点から準線までの距離がhだとします。
右図1では、準線：
は焦点の左側にあって、始線とは交わらず、右図2では、準線：
は焦点の右側にあって、始線と交わります。
曲線上の点P
から準線に垂線PHを下ろすと、離心率：
は、右図1では、
右図2では、
両者まとめて(以下、複号同順)、準線を
として、曲線の式は、
分母を払って整理すると、
(－が右図1，＋が右図2)
これが、2次曲線の極方程式で、
の場合に楕円、
の場合に放物線、
の場合に双曲線になります。
極方程式：
で表される2次曲線の直交座標系における方程式を求めてみます。
分母を払って、
より、
両辺を2乗して、
より、
の場合には、
これは放物線です。
の場合は、左辺をxに関して平方完成し、
両辺を
で割ると、
の場合には、
これは楕円です。
の場合には、
これは双曲線です。
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