座標平面における対称 関連問題
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点に関して対称な図形
点A
と点B
が、点P
に関して対称であるとき、
，
点P
に関して、方程式：
で表される図形と対称な図形は、
右図のように、点A
と点B
が、点P
に関して対称であるとき、点Pは線分ABの中点です。
∴ 
，
･･･①
また、点A
が方程式：
で表される図形上の点であるとき、
が成り立ちます。このとき、点Pに関して点Aと対称な点B
が満たす方程式を考えてみます。
①より、
，
が成り立つので、これを、
に代入すると、
･･･②
②が、点Bの満たす方程式です。点Aが、図形：
上の点だとすれば、点Bは、点Pに関して図形：
と対称な図形上の点です。
ということは、②の
として、点P
に関して、方程式：
で表される図形と対称な図形の方程式は、
例1．点
に関して直線：
と対称な直線を求めよ。
[解答] 求める直線上の点を
として直線：
･･･① 上の点
は、
，
これを、①のx，yに代入すると、
整理して、
，
と書き換えて、求める直線の式は、
......[答]
注．点に関して対称な放物線、その他の曲線を求める場合も全く同様にできます。
直線に関して対称な図形
点Aと点Bが直線lに関して対称
⇔ (1) 
かつ (2) 線分ABの中点Mはl上
点A
と点B
が、直線：
(
)に関して対称
⇔ (1) 
かつ (2) 
点A
と点B
が、直線：
に関して対称
⇔ (1) 
かつ (2) 
(なお、2直線の平行・垂直を参照)
点A
と点B
を結ぶ直線の傾きは、
であれば、
直線の方程式は、
のときも含めて、
この直線の法線ベクトルは、
であれば(
)、
⇔ 
のときも含めて、
⇔ 
線分ABの中点
が直線l上という条件は、直線lの方程式に、
，
を代入した式を立てます。
例2．直線：
に関して、直線：
と対称な直線を求めよ。
[解答] 直線：
･･･① 上の点を
，求める直線上の点を
とします。
と
が直線：
に関して対称
⇔ (1) 
かつ (2) 
(1)より、
･･･②
(2)より、
･･･③
②，③をx，yについて解くと、
，
①に代入して、
整理すると、
，
として、求める直線の方程式は、
......[答]
注．直線に関して対称な放物線、その他の曲線を求める場合も全く同様にできます。
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