四面体の体積 関連問題
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大学入試で頻出の四面体の体積を考えます。
例1．座標空間内の3点、A
，B
，C
を頂点とする三角形を含む平面と原点O
との距離を求める。
[解答1] 四面体OABCを三角形OABを底面とし、OCを高さとする四面体とみると、三角形OABの面積は、
四面体OABCの体積Vは、
一方、
，
三角形ABCの面積Sは、
求める距離をhとして、
より、
......[答]
6をかけて、
これと原点との距離hは、点と平面の距離の公式を用いて、
......[答]注．解答1で、外積を用いて、
とすることもできます。 解答2で、平面の方程式を
とおいて、
を通ることから、
を通ることから、
を通ることから、
∴ 
，
，
よって、平面の方程式は、
をかけて、
とすることもできます。
例2．座標空間内の4点O
，A
，B
，C
を頂点とする四面体の体積を求める。(秋田大 '99年)
[解答] 
，
三角形ABCの面積Sは、
Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をHとすると、
は三角形ABCに垂直なベクトルなので、
// 
より、
とおける。
また、
より、
∴ 
∴ 
四面体OABCの底面を三角形ABCと見ると、その高さは、
よって、四面体OABCの体積は、
......[答]注．上記をよく見ると、四面体の体積を求める上で、S，k，hの値を求める必要がないことがわかります。
は底面の三角形ABCに垂直なベクトルでその大きさは三角形ABCの面積Sの2倍なので、
と
とのなす角をθ として、
は、四面体の高さなので、
になっています。
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