四面体の体積　　　関連問題


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
　大学入試で頻出の四面体の体積を考えます。
例1．座標空間内の3点、A，B，Cを頂点とする三角形を含む平面と原点Oとの距離を求める。
[解答1]　四面体OABCを三角形OABを底面とし、OCを高さとする四面体とみると、三角形OABの面積は、
四面体OABCの体積Vは、
一方、，
三角形ABCの面積Sは、
求める距離をhとして、より、
......[答]
[解答2]　3点A，B，Cを通る平面のx切片が1，y切片が2，z切片が3であることから、この平面の方程式は、
6をかけて、
これと原点との距離hは、点と平面の距離の公式を用いて、
......[答]
注．解答1で、外積を用いて、とすることもできます。
解答2で、平面の方程式をとおいて、
を通ることから、
を通ることから、
を通ることから、
∴ ，，
よって、平面の方程式は、
をかけて、
とすることもできます。

例2．座標空間内の4点O，A，B，Cを頂点とする四面体の体積を求める。(秋田大 '99年)
[解答]　，

三角形ABCの面積Sは、
　(外積を参照)
Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をHとすると、は三角形ABCに垂直なベクトルなので、 // より、とおける。
また、より、
∴
∴
四面体OABCの底面を三角形ABCと見ると、その高さは、
よって、四面体OABCの体積は、
......[答]
注．上記をよく見ると、四面体の体積を求める上で、S，k，hの値を求める必要がないことがわかります。
は底面の三角形ABCに垂直なベクトルでその大きさは三角形ABCの面積Sの2倍なので、ととのなす角をθ として、
は、四面体の高さなので、になっています。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
　　数学基礎事項TOP　　数学TOP　　TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。

【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。
©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。