東工大数学'06年前期[4]
空間内の四面体ABCDを考える。辺AB，BC，CD，DAの中点を、それぞれK，L，M，Nとする。
(1) を示せ。ここにはベクトルの長さを表す。
(2) 四面体ABCDのすべての面が互いに合同であるとする。このとき，，を示せ。
(3) 辺ACの中点をPとし、，，とする。(2)の仮定のもとで、四面体PKLNの体積を求めよ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
解答　最近、東大、京大などで出題されている等面四面体に関する問題で、直方体ABCD-EFGHの各面の対角線と頂点とでできる四面体のうち、ABDE，BCDG，EFGB，EGHDの4個を取り除くと、等面四面体ができる、という知識を使えばすぐにできるのですが、ここでは、前提知識を想定しないでやってみます。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)




∴

(2) 各面が正三角形、二等辺三角形であることは想定されていないので、各面とも辺の長さが異なるものとして、三角形ABCにおいて、，， (a，b，cは互いに異なる正数)とします。この場合でも、題意は成立しなければなりません。
となるために、なので、，　･･･① となるか、または、，　･･･② となるかのいずれか2通りの可能性しかありません。
となるために、なので、，　･･･③ となるか、または、，　･･･④ となるかのいずれか2通りの可能性しかありません。
より、①かつ③はあり得ません。
より、②かつ③はあり得ません。
より、②かつ④はあり得ません。
よって、“①かつ④”の場合に絞られますが、このとき、，，となります。
このとき、より、四面体ABCDのすべての面が互いに合同になります。
このとき、，，

(3) (2)の仮定のもとで、(1)より、
よって、です。
同様に、
よって、KL // NM，また、　･･･⑤
これより、四角形KLMNは、平行四辺形ですが、より、平行四辺形の対角線が直交するので、四角形KLMNはひし形です。
MKとLNの交点をOとすると、OはMK，LNの中点であり、また、
全く同様にして、BDの中点をQとすると、四角形PKQMはひし形で、MKの中点はOなので、PQの中点もOとなり、，
(MKとLNとPQは1点Oで互いに垂直に交わります)
⑤と同様にして、，
三平方の定理より、
　･･･⑥
　･･･⑦
　･･･⑧
(⑥＋⑦＋⑧)÷2より、
　･･･⑨
⑨－⑧より、
⑨－⑦より、
⑨－⑥より、
四面体PKLNの底辺を三角形KLNと見ると、この面積は三角形OKLの面積2個分で、四面体の高さはOP
よっても四面体PKLNの体積は、
......[答]


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
　　東工大数学TOP　　数学TOP　　TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。
©2005-2024
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。