東京工業大学2006年前期数学入試問題
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[1] 以下の問に答えよ。
(1) 自然数nに対し
を求めよ。 (2) 次の不等式を示せ。
(
)(3) aを正の数とし、aを超えない最大の整数を
で表す。
が奇数のとき次の不等式が成り立つことを示せ。 [解答へ]
[2] 以下の問に答えよ。
(1) a，bを正の定数とし、
とおく。
における関数
の増減を調べ極値を求めよ。 (2) mを正の定数とし、xy座標平面において条件
を満たす点
からなる領域をDとする。Dの概形を図示せよ。 (3) (2)の領域Dの面積を求めよ。
[解答へ]
[3] 平面上を半径1の3個の円板が下記の条件(a)と(b)を満たしながら動くとき、これら3個の円板の和集合の面積Sの最大値を求めよ。
(a) 3個の円板の中心はいずれも定点Pを中心とする半径1の円周上にある。
(b) 3個の円板すべてが共有する点はPのみである。
[解答へ]
[4] 空間内の四面体ABCDを考える。辺AB，BC，CD，DAの中点を、それぞれK，L，M，Nとする。
(2) 四面体ABCDのすべての面が互いに合同であるとする。このとき
，
，
を示せ。 (3) 辺ACの中点をPとし、
，
，
とする。(2)の仮定のもとで、四面体PKLNの体積を求めよ。 [解答へ]
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； (b) すべての
に対し
を示せ。ここに
はベクトル
の長さを表す。