東工大数学'06年前期[2]
以下の問に答えよ。
(1) a，bを正の定数とし、
とおく。
における関数
の増減を調べ極値を求めよ。 (2) mを正の定数とし、xy座標平面において条件
を満たす点
からなる領域をDとする。Dの概形を図示せよ。 (3) (2)の領域Dの面積を求めよ。
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解答 標準的な微積分の計算問題です。計算ミスによく注意してください。
増減表より、
において減少、
において増加で、
において極小値：
......[答] (関数の増減を参照)
(2) (b)の条件から、
，
として(1)を利用すると、
の最小値
がm以上であればよいので、(a)の条件より、両辺にxをかけて整理すると、 ∴ 
･･･①(a)の条件を加味するために、
とxの大小関係を調べます。 これは、
，つまり、
のときに負、
のときに正で、
のときに
，
のときに
として、曲線
を調べます。 
とすると、
，
概形を図示するだけなので、通常は増減を調べれば十分ですが、ここでは、
における曲線の挙動を確認するために、凹凸も調べることにします(関数の凹凸を参照)。
とすると、
，
増減表より、曲線
と直線
は、
が極大となる点
で交わることがわかります。
以上より、求める領域Dは、右図斜線部(曲線
上の
の部分を含み、直線
上を除く)
(3) 直線
と直線
，x軸で囲まれる三角形の面積は、
曲線
と直線
，x軸で囲まれる領域の面積(定積分と面積を参照)は、 求める面積は、
......[答]
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； (b) すべての
に対し
とすると、
，
より、
